Redigerer Bohr-Sommerfeld-kvantisering (avsnitt)

===Beregning av integral=== 

Det radielle integralet kan gjøres på forskjellige måter. Opprinnelig ble det beregnet av Sommerfeld ved integrasjon i det [[komplekst tall|komplekse planet]].<ref name = Sommerfeld/> Alternativt kan man splitte det opp som

: <math> J = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr \Big(-1 + {2a\over r} - {b^2\over r^2}\Big)^{1/2} =  \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr {2a - r - b^2/r \over\sqrt{2ar - r^2 - b^2}} </math>

hvor hvert av de tre delintegralene kan utføres på mer konvensjonell måte. Defineres det første som

: <math> J_1 = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{a - r \over\sqrt{2ar - r^2 - b^2}} </math>,

kan man innføre en ny integrasjonsvariabel definert ved å sette ''r'' = ''a''  + ''cs''. Da vil ''r<sub>min</sub>&thinsp;'' tilsvare ''s'' = -1, mens ''r<sub>max</sub>&thinsp;'' fremkommer for {{nowrap|''s'' {{=}} 1}}. Det viser at

: <math> J_1 = c\int_{-1}^1\!ds {s\over\sqrt{1 - s^2}} = 0 </math>

da integranden skifter foretegn under integrasjonen og derfor gir to bidrag som opphever hverandre.

I det andre integralet 

: <math> J_2 = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{a\over\sqrt{2ar - r^2 - b^2}} </math>

kan man skifte til en annen integrasjonsvariabel definert ved ''r'' = ''a'' + ''c''&thinsp;cos''u''. Da vil ''r<sub>min</sub>&thinsp;'' tilsvare {{nowrap|''u'' {{=}} ''&pi;&thinsp;''}}, mens {{nowrap|''r<sub>max</sub>&thinsp;''}} tilsvarer {{nowrap|''u'' {{=}} 0}}. Samtidig blir differensialet {{nowrap|''dr'' {{=}} - ''c''&thinsp;sin''u''&thinsp;''du''}} hvor

: <math> c\sin u = \sqrt{2ar - r^2 - b^2} </math>

Det betyr at ''J''<sub>2</sub> = ''&pi;&thinsp;a''. På samme måte kan man i det tredje integralet

: <math> J_3 = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{b^2/r\over\sqrt{2ar - r^2 - b^2}} </math>

skrive ''b''<sup>&thinsp;2</sup>/''r'' = ''a'' + ''c''&thinsp;cos''v&thinsp;'' hvor nå ''r<sub>min</sub>&thinsp;'' fremkommer for {{nowrap|''v'' {{=}} 0&thinsp∞}} og {{nowrap|''r<sub>max</sub>&thinsp;''}} for  {{nowrap|''v'' {{=}} ''&pi;&thinsp;''}}. Videre er 

: <math> {b^2\over r^2}dr = c\sin v dv = {b\over r}\sqrt{2ar - r^2 - b^2} dv </math>

Dermed har man for det tredje integralet at  ''J''<sub>3</sub> = ''&pi;&thinsp;b''. Da hele det radielle integralet er  {{nowrap|''J'' {{=}} ''J''<sub>1</sub> + ''J''<sub>2</sub> - ''J''<sub>3</sub>}}, har det verdien {{nowrap|''J'' {{=}} ''&pi;''&thinsp;(''a'' - ''b'')}}.