Redigerer Virkningsprinsipp (avsnitt)

==Matematisk formuleringer==

Virkningen som ble foreslått av [[Pierre Louis Maupertuis|Maupertuis]] for en partikkel med masse ''m'' som beveger seg fra et punkt ''A'' til et punkt ''B'' med en hastighet {{nowrap|''v {{=}} v('''r''')''}} som varierer med posisjonen '''''r''''' langs en viss bane, er gitt ved integralet

: <math> W = m\!\int_A^B\!ds v(\mathbf{r}) </math>

Her er ''ds = vdt'' den infinitesemale banestrekningen som tilbakelegges i en infinitesemal tid ''dt''. Prinsippet om minste virkning sier nå at den banen som partikkelen virkelig følger, det vil si hva vi kaller den ''klassiske banen'', er den som gir den minste verdien for dette integralet. [[Leonhard Euler|Euler]] påpekte at i denne sammenligningen av virkningene for forskjellige baner, måtte man kun betrakte baner som hadde den samme, totale energien {{nowrap|''E {{=}} T + V''}}. 

Euler viste også at dette kunne best gjøres ved en ny, matematisk metode som han utviklet med dette for øye og som i dag omtales som [[variasjonsregning]]. Betrakter man en liten '''variasjon''' av banen ''&delta;'''r''''' slik at hvert punkt langs den forandres til {{nowrap|'' '''r''' + &delta;'''r'''''}}, vil det resultere i en tilsvarende variasjon ''&delta;W'' av virkningen. Den klassiske banen er da gitt ved kravet om at denne skal være null,

: <math> \delta W = 0\,.   </math>

Den tilsvarende virkningen har da en ekstremalverdi. For tilstrekkelig korte baner er dette en minimum. På den måten hadde Euler gitt [[Maupertuis' virkningsprinsipp|prinsippet om minste virkning]] en matematisk formulering.

===Hamiltons virkningsprinsipp===

Hastigheten ''v'' til partikkelen bestemmer dens [[kinetisk energi|kinetiske energi]] ''T = mv<sup>2</sup>/2''. Derfor kan virkningsintegralet også skrives som

: <math> W = m\!\int_A^B\!dt v^2 =   \int_A^B 2T dt </math>

Men nå er  {{nowrap|''2T {{=}} E + T - V''}} slik at variasjonen av virkningen blir

: <math> \delta W = \int_A^B\!dt [\delta E + \delta(T-V)] </math>

Her er første ledd lik null da ''&delta;E = 0'' fordi energien til de varierte banene må forbli uforandret. Andre ledd inneholder kombinasjonen {{nowrap|''L {{=}} T - V''}} som er [[Lagrangemekanikk|Lagrange-funksjonen]] til partikkelen. Minste virknings prinsipp kan da skrives som {{nowrap|''&delta;S {{=}} 0''}} hvor

: <math> S = \int_A^B\!dt (T-V)  </math>

som er virkningen som inngår i [[Hamiltons virkningsprinsipp]]. På denne formen vil det ikke lenger være noen restriksjoner på variasjonene ''&delta;'''r''''' som inngår i beregningen. De to ytterpunktene er nå angitt ved de tilsvarende tidspunktene ''t<sub>A</sub>'' og ''t<sub>B</sub>'' da partikkelen befinner seg der.

I denne fremstillingen har man betraktet en ikke-relativistisk partikkel hvor [[Lagrangemekanikk|Lagrange-funksjonen]] kan skrives direkte uttrykt ved kinetisk og potensiell energi som ''L = T - V''. Men for mer generelle system er det ikke mulig å foreta en slik enkel oppsplitting. Den eneste fundamentale størrelsen som inngår i Hamiltons virkningsprinsipp er da kun Lagrange-funksjonen. For eksempel, så følger [[Einsteins feltligninger]] for [[gravitasjonsfelt]]et ved å sette denne lik den skalare krummningen til det tilsvarende 4-dimensjonale tidrommet som vist av den tyske matematiker [[David Hilbert]] i [[1915]]. Det var samme år som [[Albert Einstein]] kom frem til dem på en mer indirekte måte.