Redigerer Virialteoremet (avsnitt)

==Utledning==

For en ikke-relativistiske partikkel er dens [[Bevegelsesmengde|impuls]] <math> \mathbf{p}_k </math> og [[hastighet]]  <math> \dot{\mathbf{r}}_k </math> forbundet med  <math> \mathbf{p}_k = m_k\dot{\mathbf{r}}_k </math> når den har masse <math> m_k. </math> Hvis man summerer skalarproduktene mellom disse to vektorene for alle ''N&thinsp;'' partikler i systemet, gir det

: <math> \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k  = \sum_{k=1}^N m_k \dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k  = 2 K </math>

som er den doble, [[kinetisk energi|kinetiske energien]] til systemet. Dermed er det naturlig å betrakte den relaterte størrelsen  <math> G = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k </math> hvis tidsderiverte er

: <math>\begin{align} {dG\over dt} &=  \sum_{k=1}^N(\dot{\mathbf{p}}_k \cdot \mathbf{r}_k +  \mathbf{p}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k) \\ &=   \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k + 2K \end{align} </math>

da [[Newtons lover|Newtons andre lov]] sier at <math> \dot{\mathbf{p}}_k = \mathbf{F}_k </math> er den totale kraften som virker på partikkelen med posisjon <math>\mathbf{r}_k . </math>  På denne formen er man bare kommet frem til en identitet i klassisk mekanikk.<ref name = Goldstein> H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).</ref>

Teoremet fremkommer hvis man nå midler denne identiteten over et langt tidsrom ''&tau;''. Venstresiden er da

: <math>  \left\langle {dG\over dt} \right\rangle = {1\over \tau} \int_0^\tau \! dt {dG\over dt}  = {1\over \tau} \left(G(\tau) - G(0) \right) </math>

Anvendes dette resultatet på et periodisk eller bundet systemet hvor alle variable tar endelige verdier, blir dette null når tiidsmidlet tas over et veldig  langt tidsrom. Det gir

: <math> \sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle = - 2\left\langle K \right\rangle  </math>

der de to middelverdiene beregnes på samme måte. Dette er virialteoremet på sin mest generelle form.<ref name = Collins/>

===Konservative system===

Teoremet får sin viktigste konsekvens for [[Potensiell energi#Konservative krefter|konservative system]] der kraften på en partikkel kan avledes fra den potensielle energien ''U&thinsp;'' til hele systemet,

: <math> \mathbf{F}_k = -  {\partial \over\partial\mathbf{r}_k} U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N)</math>

I tillegg må man anta at den kan splittes opp i påvirkningen fra alle andre partikler via et to-partikkelpotensial <math>  u(r_{kj}) </math> der den skalare størrelsen <math> r_{kj} = |\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j| </math> angir avstanden mellom dem.  Den totale, potensielle energien til systemet er da

: <math>  U(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N) = \sum_{k=1}^N \sum_{j<k} u(r_{kj}).  </math>

Det betyr at den totale kraften som inngår i teoremet, kan skrives som <math> \mathbf{F}_k=\sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{kj} </math> hvor 

: <math> \mathbf{F}_{kj} = - {\partial \over\partial\mathbf{r}_k}  u(r_{kj}) = - {du\over dr_{kj}} {\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j\over r_{kj}} </math>

er kraften fra partikkelen i posisjon <math> \mathbf{r}_j </math> på den i  posisjon <math> \mathbf{r}_k. </math> Da er automatisk <math>  \mathbf{F}_{kj} = - \mathbf{F}_{jk}  </math> slik at  [[Newtons lover|Newtons tredje lov]] err oppfylt.<ref name = LL> L.D. Landau and E.M. Lifshitz, ''Mechanics'', Pergamon Preess, London (1960). </ref>

På denne måten kommer man frem til

: <math> \begin{align}  \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k =  \sum_{k=1}^N \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_{kj} \cdot \mathbf{r}_k = \sum_{k=1}^N \sum_{j<k}  \mathbf{F}_{kj} \cdot (\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_j)  \end{align} </math>

slik at virialteoremet for konservative system blir

: <math>  2 \left\langle K \right\rangle =  \sum_{k=1}^N \sum_{j<k}  \left\langle r_{kj}  {du\over dr_{kj}} \right\rangle </math>

Den midlere, kinetiske energien er dermed gitt ved middelverdien til den deriverte av to-partikkelpotensialet <math> u(r) </math> over alle partiklene i systemet.<ref name = LL/>

===Homogent potensial===

Virrialteoremet tar en spesielt enkel form når det konservative potensialet er ''homogent'', det vil si at det oppfyller <math> u(\lambda r) = \lambda^n u(r) . </math> Det betyr at det er en [[Potens (matematikk)|potensfunksjon]] av formen <math> u(r) = kr^n . </math>  Da blir <math>  r du/dr = n u </math> som innsatt i virialteoremet gir

:  <math>  2 \left\langle K \right\rangle =  n  \sum_{k=1}^N \sum_{j<k}  \left\langle  u(r_{kj})  \right\rangle =  n \left\langle  U \right\rangle </math>

Den midlere kinetiske energi kan derfor direkte finnes fra den midlere potensielle energien. Det er velkjent fra den [[Harmonisk oscillator|harmoniske oscillatoren]] hvor <math> n = 2 </math> slik at <math> \left\langle  K \right\rangle = \left\langle  U \right\rangle. </math> Likedan for et [[Coulombs lov|Coulomb-potensial]] med <math> n = -1 </math> gir teoremet at <math> 2\left\langle  K \right\rangle = -\left\langle  U \right\rangle . </math> Da venstresiden her må være positiv, gjelder dette bare for et attraktivt potensial. Det reflekterer nødvendigheten for at bevegelsen til systemet må være bunden for at virialteoremet skal kunne anvendes.<ref name = Goldstein/>

Da systemets totale energi <math> E = \left\langle  K \right\rangle + \left\langle  U \right\rangle </math> er konstant, vil man nå ha

: <math>  \left\langle  U \right\rangle =  {2\over 2 + n} E \, ,\quad  \left\langle  K \right\rangle = {n\over 2 + n} E \ . </math>

For et [[gravitasjonspotensial]] eller Coulomb-potensial er derfor den midlere, kinetiske energien <math>  \left\langle  K \right\rangle = - E. </math>