Redigerer Ugyldige bevis (avsnitt)

== Potenser og røtter ==
=== Bevis for at 1 = −1 ===
==== Versjon 1 ====
Start med likheten
:<math>-1 = -1 \,</math>
Konverter begge sidene av ligningen til de vulgære brøkene 
:<math>\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}</math>
Ta [[kvadratrot]]en av hver side for å få
:<math>\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}</math>
:<math>\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}</math>
Multipliser begge sidene med <math>\sqrt{1}\cdot\sqrt{-1}</math> for å få
:<math>\sqrt{1}\cdot\sqrt{1} = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}</math>
Enhver kvadratrot opphøyd i annen potens gir tallet selv slik at 
:<math>\displaystyle{1 = -1}</math>

''[[Q.E.D.]]''

Beviset er ugyldig fordi det misbruker følgende prinsipp for kvadratrøtter: 
:<math>\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}</math>
Dette gjelder kun hvis ''x'' og ''y'' er positive reelle tall hvilket ikke er tilfelle i beviset over.

==== Versjon 2 ====
Ved å manipulere røtter ukorrekt, utleder man følgende falske bevis:
:<math>1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1</math>

''Q.E.D.''

Regelen <math>\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}</math> gjelder generelt bare hvis minst ett av tallene ''x'' og ''y'' er positivt, noe som åpenbart ikke er tilfelle her.

==== Versjon 3 ====
Ved å gå inn og ut av domenet til de [[komplekse tall]]ene, kan følgende falske bevis utledes:
:<math>-1 = (-1)^3 = (-1)^\frac{6}{2} = ((-1)^6)^\frac{1}{2} = 1^\frac{1}{2} = 1</math>

''Q.E.D.''

Ligningen <math>a^{bc} = (a^b)^c</math>, hvor ''b'' og/eller ''c'' er brøker gjelder kun når ''a'' er positiv, hvilket ikke er tilfelle her, og dette leder derfor til det falske beviset.

==== Versjon 4 ====
Start med Pythagoras likhet
:<math>\,\cos^2x =1-\sin^2x</math>
Opphøy begge sider av ligningen til potensen 3/2 for å få
:<math>(\cos^2x)^\frac{3}{2}=(1-\sin^2x)^\frac{3}{2}</math>
:<math>(\cos^3x)=(1-\sin^2x)^\frac{3}{2}</math>
La <math>x=\pi</math>
:<math>-1=(1-0)^\frac{3}{2}</math>
:<math>-1=1 \,</math>

''Q.E.D.''

Dette beviset feiler på grunn av skritt nummer 3 hvor regelen <math>(a^b)^c = a^{bc}</math> anvendes uten forsikringen om at ''a'' er positiv.  Også i fjerde skritt sjekkes ikke alle røttene av <math>(1-0)^\frac{3}{2}</math>.  Selv om 1 er et svar, er det ikke det eneste siden -1 også funker.

=== Bevis for at x=y for alle x, y ===
Hvis
<math>a^b=a^c</math>
så er <math>b=c</math>. Ettersom <math>1^x=1^y</math> kan vi slutte at <math>x=y</math>.

''Q.E.D.''

Feilen i dette beviset ligger i det faktum at den anvendte regelen kun gjelder for positive <math>a\ne1</math>.

=== Bevis for at kvadratroten av -1 er 1 ===
  
:<math>\sqrt{-1} = (-1)^\frac{2}{4} = ((-1)^2)^\frac{1}{4} = 1^\frac{1}{4} = 1</math>

''Q.E.D.''

Feilen her ligger i den siste likheten hvor man ser bort fra de tre andre fjerderøttene til 1, som er -1, i og -i. Vi ser at vi har kvadrert tallet vårt, for så å ta røtter, og vi kan derfor ikke alltid anta at røttene vil være korrekte. De korrekte fjerderøttene er i og -i som er de imaginære tallene definert som <math>\sqrt{-1}</math>. Ideen vises også i det neste beviset:

=== Bevis for at -2 = 2 ===

:<math>x = -2 \,</math>
:<math>x^2 =  \,4</math>
:<math>x = \sqrt{4} = 2 \,</math>

''Q.E.D.''

Igjen er feilen at vi har introdusert et annet kvadrat ved å kvadrere for så å ta kvadratroten.