Redigerer Stefan-Boltzmanns lov (avsnitt)

== Historie ==
Den østerrikske fysikeren [[Josef Stefan]] utledet loven i 1879 på grunnlag av eksperimentelle målinger gjort av den britiske fysikeren [[John Tyndall]]. Han hadde varmet opp tråder av [[platina]] og kunne måle varmeutsrålingen fra disse. Ved 525&thinsp;°C er disse rødglødende. Oppvarmes de så til 1200&thinsp;°C, blir de helt hvitglødende. Tyndall hadde funnet at varmestrålingen fra dem dermed økte med en faktor 11,7. Stefan observerte at hvis han regnet ut forholdet mellom de tilsvarende [[absolutt temperatur|absolutte temperaturene]] 1200 + 273 og 525 + 273 og opphøyde resultatet i fjerde potens, ga det 11,6. Det fikk han til å tro at utstrålingen varierte med fjerde potens av den absolutte temperaturen. Etterhvert kunne han verifisere at denne lovmessigheten stemte med alle andre, kjente målinger.

Dette resultatet ble i [[1884]] begrunnet ved teoretiske betraktninger basert på bruk av [[termodynamikk]] av den østerrikske fysikeren [[Ludwig Boltzmann]] som hadde tidligere studert under Stefan.

===Boltzmanns utledning===

Stråling i termisk likevekt i et volum ''V'' ved temperatur ''T'' har en energitetthet ''u(T) = U/V''. Som i [[kinetisk teori]] for en gass med partikler, kan man da lett vise strålingen utøver et trykk ''P = u/3''. Dette er en fundamental egenskap ved [[varmestråling]] som skyldes at den består av [[elektromagnetiske bølger]] som forplanter seg med [[lyshastigheten]].

[[Fil:SB-derivation.jpg|thumb|right|250px|Syklisk prosess hvor strålingen med temperatur ''T'' og volum ''V<sub>1</sub>&thinsp;'' ekspanderer [[isotermt]] til ''V<sub>2</sub>&thinsp;'' og blir så trykket sammen igjen ved en litt lavere temperatur til det opprinnelige volumet.]]
Boltzmann betraktet en [[Carnotprosess|Carnot-maskin]] som inneholder slik varmestråling som arbeidssubstans. Som alle slike maskiner, gjennomgår den fire delprosesser:

# I utgangspunktet har strålingen temperatur ''T'' og volum ''V<sub>1</sub>''. Den gjennomgår så en ekspansjon ved konstant temperatur ([[isoterm prosess|isoterm]]) til et større volum ''V<sub>2</sub>''. Den utfører dermed arbeidet ''W = P(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)'' hvor ''P = u/3''. Samtidig økes den indre energien til strålingen med ''U = u(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)''. I denne delprosessen absorberes det derfor en varmemengde ''{{nowrap|Q {{=}} W + U}} = (4/3)u(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)'' fra et eksternt reservoar.
# Kontakten med reservoaret isoleres og strålingen gjennomgår en liten, [[adiabatisk]] ekspansjon. Temperaturen avtar da til {{nowrap|''T - dT''}}.
# Ved denne nye temperaturen trykkes strålingen sammen isotermt til et mindre volum.
# I siste delprosess trykkes gassen igjen litt mer sammen, men adiabatisk slik at temperaturen øker til den opprinnelige verdien ''T'' ved samme volum som i utgangspunktet.

Nettoarbeidet som maskinen har utført i denne arbeidssyklusen, er gitt ved det skraverte arealet i ''PV''-diagrammet. Det er lik {{nowrap|''&delta;W {{=}} dP(V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>)''}} hvor nå ''dP = du/3''. Bidragene fra de to adiabatiske delprosessene kan neglisjeres når ''dT'' går mot null. Siden dette nå er en [[Carnotprosess|Carnot-prosess]], er virkningsgraden gitt ved temperaturforskjellen mellom de to reservoarene, det vil si

: <math> {\delta W\over Q} = {du/3\over 4u/3} = {dT\over T} </math>

Herav følger at ''du/u = 4dT/T'' som kan lett integreres opp til å gi ''u(T) = aT<sup>4</sup>'' hvor ''a'' er en ukjent integrasjonskonstant. Dette var resultatet til Bolzmann for energitettheten til varmestrålingen. Verdien til konstanten ''a'' kom først femten år senere med [[Plancks strålingslov|Plancks teori]] og gir også verdien for [[Stefan-Boltzmanns konstant]] ''&sigma;''.

===Solens temperatur===

Stefan brukte denne loven til å bestemme temperaturen ''T<sub>S</sub>'' på [[Solen]]s overflate. Man antar da at den stråler som et [[svart legeme]]. Det kan gjøres ut fra kjennskap til [[solkonstanten]] ''&Phi;<sub>0</sub>'' = 1368&thinsp;W/m<sup>2</sup>. Den angir hvor mye varmestråling som blir mottatt i den øvre atmosfæren til [[Jorden]]. Avstanden til Solen er ''D'' = 150&times;10<sup>9</sup>&thinsp;m og dens radius er ''R<sub>S</sub>'' = 7&times;10<sup>8</sup>&thinsp;m. Da den utstrålte fluksen avtar med kvadratet av avstanden fra Solen, vil fluksen på dens overflate være

: <math> \Phi_S = \Phi_0\left({D\over R_S}\right)^2  = 1368\left({150\times 10^9\over 7\times 10^8 }\right)^2 \mathrm{W\over m^2}  = 6,28\times 10^7\,\mathrm{W m^{-2}} </math>

Dette skal nå settes lik ''&sigma;T<sub>S</sub><sup>4</sup>''. Bruker man verdien over for [[Stefan-Boltzmanns konstant]], gir det den søkte temperaturen {{nowrap|''T<sub>S</sub>'' {{=}} 5770&thinsp;K}}. Stefan benyttet litt andre verdier og fikk derfor et resultatet som var litt mindre. Men dette var første gang man hadde en troverdig verdi for temperaturen.

Den totale mengde utstrålt energi fra Solen er ''4&pi;R<sub>S</sub><sup>2</sup>&Phi;<sub>S</sub>'' = 3,85&times;10<sup>26</sup>&thinsp;W.  Dette er dens [[luminositet]] og er en viktig  størrelse i [[astrofysikk]]en.