Redigerer
Sirkelinversjon
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Noen egenskaper== [[Fil:Inversion.gif|thumb|300px|Sirkler som ikke går gjennom [[origo]], blir transformert til nye sirkler på den andre siden av inversjonssirkelen.]] De fire karakteristiske egenskapene til en sirkelinversjon er: # Linjer gjennom ''O'' transformeres til linjer gjennom ''O''. # Linjer som ikke går gjennom ''O'', blir transformert til sirkler som går gjennom ''O''. # Sirkler gjennom ''O'' transformeres til linjer som ikke går gjennom ''O''. # Sirkler som ikke går gjennom ''O'', transformeres til sirkler som ikke går gjennom ''O''. Med enkle, geometriske betraktninger kan de forholdsvis lett bevises. At et punkt på en linje gjennom origo ''O'' blir transformert til et annet punkt på samme linje, følger direkte fra definisjonen. Den andre egenskapen følger ved å betrakte punkter på en linje ℓ som man først kan anta ligger utenfor sirkelen. En ny linje gjennom origo [[vinkelrett]] på denne, har et et skjæringspunkt ''A'' med denne og et invers punkt ''A' '' innenfor sirkelen. Et annet punkt ''P'' på linjen ℓ har likedan et invers punkt ''P' ''. Nå er ''OA''⋅''OA' '' = ''OP''⋅''OP' '' = ''r''<sup> 2</sup>. Derfor er [[trekant]]ene ''OAP'' og ''OA'P' '' likedannede. Da de i tillegg er rettvinklete, vil punktet ''P' '' ligge på en sirkel gjennom ''O'' med linjestykket ''OA' '' som [[hypotenus]]. Dette er uavhengig av hvor på linjen ℓ punktet ''P'' er.<ref name = CR> R. Courant and H. Robbins, ''What is Mathematics?'', Oxford University Press, New York (1996). ISBN 978-0-19-510519-3.</ref> Mens denne betraktningen også beviser den tredje egenskapen, kan den siste egenskapen forklares ved å la en rett linje gjennom ''O'' skjære en annen sirkel med sentrum i ''M''. De to skjæringspunktene ''A'' og ''B'' har inverse punkt ''A' '' og ''B' ''. På linjen ''OM'' kan nå et nytt punkt ''C'' bestemmes som skjæringspunktet med en linje gjennom ''A' '' og parallell med ''BM''. Da blir linjestykkene ''A'C'' og ''B'C'' like store og uavhengig av den nøyaktige posisjonen til skjæringspunktene ''A'' og ''B''. Det viser at alle punkt på sirkelen om ''M'' blir avbildet på en ny sirkel. ===Harmonisk konjugasjon=== Det inverse punktet ''P' '' ligger på en linje gjennom sentrum ''O'' og punktet ''P''. Linjen skjærer inversjonssirkelen i to punkt ''Q'' og ''Q' '' som vil være [[harmonisk deling|harmonisk konjugerte]] med ''P'' og ''P' ''. Hvis man ser bort fra retningene til de forskjellige linjestykkene, betyr det at {{nowrap|''QP''/''PQ' '' {{=}} ''QP' ''/''Q'P' ''.}} Denne egenskapen følger fra å anta at ''P'' ligger innfor sirkelen i avstand ''x'' fra dens sentrum. Da er {{nowrap|''OP'' {{=}} ''x''}} og {{nowrap|''OP' '' {{=}} ''r''<sup> 2</sup>/''x'' }} fra definisjonen. Langs denne linjen er nå {{nowrap|''QP' '' {{=}} ''QO'' + ''OP' ''}} og {{nowrap|''Q'P' '' {{=}} ''OP' '' - ''OQ' ''}}. Dermed blir forholdet : <math> {QP'\over Q'P'} = {r + r^2/x\over r^2/x - r} = {r + x\over r - x} </math> som er akkurat likt med forholdet ''QP''/''PQ' ''. For tilfellet at punktet ''P'' ligger utenfor sirkelen, gjennomføres beviset på samme måte.<ref name = STL> A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for den høgre skolen'' II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).</ref> Disse sammenhengene betyr at inversjonssirkelen kan identifiseres med [[Apollonios' sirkel|Apollonios-sirkelen]] for de to punktene ''P'' og ''P' ''. For hvert punkt ''X'' på sirkelen er forholdet ''XP''/''XP' '' mellom de tilsvarende avstandene alltid det samme. ===Ortogonale sirkler=== En sirkel som skjærer inversjonssirkelen med sentrum i ''O'' under en [[vinkelrett|rett vinkel]], sies å være en ''ortogonal'' sirkel til denne. Den har sitt sentrum i et punkt ''C'' og skjærer linjen ''OC '' i to punkt ''P'' og ''P' '' og inversjonssirkelen i to punkt ''T'' og ''T' ''. Da linjen gjennom ''O'' og ''T'' står vinkelrett på radius ''CT'', er den en [[tangent (matematikk)|tangent]] til sirkelen om ''C''. [[Potens til et punkt|Potensen]] til punktet ''O'' med hensyn til denne sirkelen er derfor {{nowrap|''OP''⋅''OP' '' {{=}} ''OT''⋅''OT''}} = ''r''<sup> 2</sup>. Det betyr at de to punktene ''P'' og ''P' '' er inverse til. hverandre. Omvendt betyr det også at hvis man for to inverse punkt ''P'' og ''P' '' konstruerer en sirkel med ''PP' '' som diameter, vil denne stå vinkelrett på inversjonssirkelen.<ref name = CG> H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, ''Geometry Revisited'', Mathematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.</ref> Punktene ''T'' og ''T' '' ligger på inversjonssirkelen og vil derfor forbli uforandret under en slik transformasjon. Andre punkt på sirkelen om ''C '' vil derimot transformeres, men til nye punkt på den samme sirkelen. Hele denne ortogonale sirkelen vil derfor bli liggende i ro under en inversjon. ===Konform avbildning=== Det inverse bildet av en rette linje er en sirkel som går gjennom inversjonssenteret ''O''. Ved å betrakte likedannede trekanter kan det vises at tangenten til bildesirkelen i dette punktet er parallell med linjen som avbildes. To sirkler som tangerer hverandre i ''O'', vil derfor transformeres til to parallelle linjer ved inversjon. To rette linjer som skjærer hverandre under en viss vinkel, vil dermed avbildes på to sirkler som skjærer hverandre i inversjonssenteret ''O''. Hvis skjæringsvinkelen mellom sirklene defineres som vinkelen mellom deres tangenter i skjæringspunktet, vil denne derfor være den samme som vinkelen mellom de opprinnelige linjene. Samme egenskap kan vises å gjelde for skjæringsvinklene mellom to sirkler som transformeres til to andre sirkler. Den inverse transformasjonen er derfor et eksempel på en [[konform avbildning]] da skjæringsvinkler forblir uforandret.<ref name = CG/>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon