Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

==Bølgefunksjoner og operatorer==

Schrödinger-ligningen kan ikke utledes fra klassisk fysikk eller mer kjente, fundamentale lover. Den beskriver noe helt nytt som tilhører en mikroskopisk verden som vi i utgangspunktet har vanskeligheter med å fatte og gjøre forståelig. Det er på samme måte som i klassisk mekanikk hvor alt kan forklares ved mekaniske lover som oppstår fra et fundamentalt [[virkningsprinsipp]]. Hvor dette kom fra, visste man opprinnelig ikke. Men i dag vet vi at dette er en konsekvens av den underliggende [[kvantemekanikk]]en hvor Schrödinger-ligningen danner fundamentet.

Men man kan sannsynliggjøre formen på Schrödinger-ligningen ved betraktninger basert på klassisk fysikk. Det enkleste er å første betrakte en fri partikkel med masse ''m'' og [[bevegelsesmengde|impuls]] '''p''' har energi ''E = p''<sup>2</sup>/2''m&thinsp;''. Impulsen ''p'' er konstant for en fri partikkel.  Inspirerert av dualiteten til lys som noen ganger kan beskrives som bølger og noen ganger som partikler, foreslo [[Louis de Broglie|de Broglie]] at kanskje kunne en materiell partikkel som et [[elektron]] beskrives som en bølge. Som for et [[foton]] skulle den ha en frekvens gitt ved ''&nu; = E/h&thinsp;'' hvor ''h'' er [[Plancks konstant]]. Denne sammenhengen var først foreslått av [[Albert Einstein|Einstein]] i hans forklaring av den [[fotoelektrisk effekt|fotoelektriske effekt]]. Likedan skulle partikkelen ha en [[de Broglie-bølgelengde|bølgelengde]]  ''&lambda; = h/p''  som også gjelder for fotonet. Den matematiske formen på [[bølge]]n må da være

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) \propto e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)} </math>

hvor  ''k = 2&pi;/&lambda;&thinsp;'' er det vanlige bølgetallet og ''&omega; = 2&pi;&nu;'' er vinkelfrekvensen. Men denne amplituden kan man nå likså godt uttrykke ved partikkelens egenskaper,

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) \propto  e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar}  </math>

Dette er da [[materiebølger|materiebølgen]] for en fri partikkel som de Broglie og Schrödinger først tenkte seg. Den har kanskje den litt overraskende egenskapen at den har en utbredelseshastighet ''u = E/p'' som er forskjellig fra partikkelens hastighet ''v = p/m&thinsp;''.

[[Bølgefunksjon]]en inneholder nå informasjon om partikkelens impuls og energi. For eksempel, ved å bruke [[nabla-operator]]en kan man definere en '''impulsoperator'''

: <math> \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} =  - i\hbar{\partial\over\partial\mathbf{x}} </math>

slik at  den har egenskapen <math>\hat{\mathbf{p}}\Psi = \mathbf{p}\Psi </math>. Den gir partikkelens impuls multiplisert med samme bølgefunksjon. Man sier at bølgefunksjonen i dette tilfellet er en '''egenfunksjon''' for impulsen. På samme måte vil operatoren  ''iħ&part;&thinsp;/&part;&thinsp;t'' gi energien ''E'' til partikkelen.<ref name="Griffiths">D. J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

===Partikkel i ytre potensial===

For å finne Schrödingers ligning for en partikkel som beveger seg i et ytre potensial slik at den har en potensiell energi ''V = V''('''x''')&thinsp;, kan man gå ut fra [[Hamiltonmekanikk|Hamilton-funksjonen]]

: <math> H(\mathbf{x},\mathbf{p}) = {\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\mathbf{x})  </math>

Den gir [[Hamiltonmekanikk|Hamiltons ligninger]] som beskriver den klassiske bevegelsen. I dette tilfellet er Hamilton-funksjonen 
uavhengig av tiden og partikkelen i potensialet har derfor en konstant energi ''E''.

I den kvantemekansike bølgebeskrivelsen er partikkelens bevegelse styrt av [[Hamilton-operator]]en. Den finnes fra den klassiske Hamilton-funksjonen ved å erstatte den klassiske impulsen  <math> \mathbf{p} </math> med impulsoperatoren <math> \hat{\mathbf{p}} </math>.  Det gir Hamilton-operatoren

: <math> \hat{H} = -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x})  </math>

Når denne nå virker på bølgefunksjonen, skal den gi energien ''E'' til partikkelen. Bølgefunksjonen skal altså være en egenfunksjon for energien. Mer presist betyr det matematisk at <math> \hat{H} \psi = E \psi </math> som skrevet ut gir

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x}) \Big] \psi(\mathbf{x}) = E \psi(\mathbf{x}) </math>

Dette kalles den ''stasjonære'' Schrödinger-ligningen. Variasjonen med tiden i denne bølgefunksjonen er nå gitt ved energien ''E'' på samme måte som for en fri partikkel.  Men avhengigheten av koordinaten '''x''' er nå mer komplisert og må finnes ved å eksplisitt løse denne [[differensialligning]]en. Det viser seg at det kun lar seg gjøre når energien ''E'' tar bestemte, ofte diskrete verdier. Denne matematiske egenskapen ga dermed en mer generell [[kvantisering (fysikk)|kvantisering]] av et system med partikler enn reglene til [[Niels Bohr|Bohr]] og [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]].

I det generelle tilfellet der potensialet ''V = V''('''x''',''t'')&thinsp; varierer med tiden, er ikke Hamilton-funksjon for partikkelen lenger konstant. Den har derfor heller ikke noen bestemt energi. Tidsavhengigheten i bølgefunksjonen &Psi;('''x''',''t'') er derfor annerledes enn for en fri partikkel, og den stasjonære Schrödinger-ligningen gjelder ikke lenger. Tidsavhengigheten til bølgefunksjonen må nå beregnes fra den generelle ligningen gitt i innledningen. Denne generelle Schrödinger-ligningen kan ikke lenger utledes, men er et kvantemekanisk postulat. Denne stemmer med alle observasjoner og mest nøyaktige eksperiment.<ref name="BrehmMullin">J.J. Brehm and W.J. Mullin, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref>