Redigerer Runge-Lenz-vektor (avsnitt)

==Matematisk utledning==
Kraften på en partikkel som beveger seg under  påvirkning av [[Newtons gravitasjonslov|gravitasjonskraften]] fra en annen masse eller [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] fra en annen ladning, har formen

: <math> \mathbf{F} = - k{\mathbf{r}\over r^3} </math>

hvor vektoren '''r''' = '''r'''(''t'') angir dens posisjon i forhold  til kraftsenteret og ''k&thinsp;'' er en konstant. Den vil ha en hastighet {{nowrap|'''v''' {{=}} ''d''&thinsp;'''r'''/''dt''}} og en [[bevegelsesmengde|impuls]] {{nowrap|'''p''' {{=}} ''m''&thinsp;'''v'''}} når den har en masse ''m''. Dermed vil den også ha en [[dreieimpuls]] {{nowrap|'''L''' {{=}} '''r''' &times; '''p'''}}. Da bevegelsen er gitt ved  [[Newtons bevegelseslover|Newtons andre ligning]] {{nowrap|''d''&thinsp;'''p'''/''dt'' {{=}} '''F'''}}, følger med en gang at 

: <math> {d\mathbf{L}\over dt} = {d\mathbf{r}\over dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r}\times {d\mathbf{p}\over dt}  = 0 </math>

slik at dreieimpulsen er en konstant eller «bevart» vektor.<ref name = Goldstein> H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley, Massachusetts (1980). ISBN 0-2010-2918-9.</ref>

Men for denne spesielle kraftloven finnes det også en annen, bevart vektor som kan utledes fra 

: <math> \begin{align} {d\mathbf{p}\over dt}\times \mathbf{L} &= - {k\over r^3} \mathbf{r} \times (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) \\ &= {k\over r^3}\left[\mathbf{p}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) - \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\right]  \end{align} </math>

når man skriver ut det [[Vektorprodukt#Vektorielt trippelprodukt|vektorielle trippelproduktet]] som opptrer her. Den spesielle kombinasjonen av vektorer som opptrer på høyre side, oppstår også ved utregning av

: <math> {d\over dt} {\mathbf{r}\over r} = {1\over r^3}\!\left[{d\mathbf{r}\over dt}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) - \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot{d\mathbf{r}\over dt})\right]</math>

Det betyr at den tidsderiverte av vektoren

: <math> \mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L}  - mk {\mathbf{r}\over r}  </math>

er null og er derfor konstant under partikkelens bevegelse. Dette er Runge-Lenz-vektoren. I litteraturen kan den være definert med motsatt fortegn eller med en annen, felles multiplikativ faktor.<ref name = Arnold>V.I. Arnold, ''Mathematical Methods of Classical Mechanics'', Springer-Verlag, New York (1989). ISBN 0-387-96890-3.</ref>

===Egenskaper===
[[Fil:Laplace Runge Lenz vector2.svg|thumb|360px|Runge-Lenz-vektoren er den samme uansett hvor i banen partikkelen befinner seg.]]

Baneplanet til partikkelen er definert ved '''r'''&sdot;'''L''' = 0 og inneholder også vektorproduktet '''p'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L'''. Runge-Lenz-vektoren ligger derfor i dette planet. Dens lengde er 

: <math> \begin{align} A^2 &= p^2 L^2 + m^2k^2 - 2m{k\over r} \mathbf{r}\cdot \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right) \\
&=  m^2k^2 + 2mEL^2 \end{align} </math> 

fordi '''r'''&sdot;('''p'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L''') = ('''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''p''')&sdot;'''L''' = ''L''<sup>2</sup>  og ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m'' - ''k''/''r'' er energien til partikkelen i banen.

Banens form er gitt ved [[skalarprodukt]]et 

: <math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{r} = Ar\cos\theta = \mathbf{r}\cdot \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right) - mkr </math> 

som dermed følger fra ligningen 

: <math> \frac{1}{r} = \frac{mk}{L^{2}} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right) </math>

Den beskriver et [[kjeglesnitt]] med [[Semi latus rectum|semi-latus rectum]] {{nowrap|''p'' {{=}} ''L''<sup>2</sup>/''mk''}} og som har  [[Kjeglesnitt#Geometriske definisjoner|eksentrisitet]] {{nowrap|''e'' {{=}} ''A''/''mk''}}. Denne er derfor større eller mindre enn én alt etter som ''A'' > ''mk'' eller ''A'' < ''mk''. Da bundne baner har energi ''E'' <  0, vil de derfor være [[ellipse]]r, mens åpne baner er [[hyperbel|hyperbler]] da de har postiv energi. Dette er i overensstemmelse med [[Keplers lover]].<ref name = Goldstein/>

For snart to hundre år siden studerte [[William Rowan Hamilton]] vektoren 

: <math> \mathbf{B} = \mathbf{p} +\left(\frac{mk} {rL^2}\right) (\mathbf{r}\times\mathbf{L}) </math>

som er definert ved at '''A''' = '''B'''&thinsp;&times;&thinsp;'''L'''. Den står vinkelrett på Runge-Lenz-vektoren og ligger i samme plan som denne. Vanligvis omtales den som banens ''binormal''.<ref name = Arnold/>

===Hamiltons hodograf===

Hamilton studerte hvordan bevegelsen til en partikkel kan uttrykkes ved hastigheten {{nowrap|'''v''' {{=}} ''d''&thinsp;'''r'''/''dt''&thinsp;}} istedenfor ved posisjonen {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''(''t''&thinsp;)}}. En grafisk fremstilling av hvordan vektoren '''v''' = '''v'''(''t''&thinsp;) varierer med tiden, kalles da bevegelsens ''hodograf''.<ref name = Orear> J. Orear, ''Fundamental Physics'', John Wiley & Sons, New York (1965). ISBN  0-4716-5672-0.</ref>

Ved å kvadrere vektoren <math>  mk\mathbf{r}/r = \mathbf{p} \times \mathbf{L}  - \mathbf{A},  </math> finner man sammenhengen

: <math> (mk)^2 = A^2 + p^2 L^{2} + 2 \mathbf{L}\cdot(\mathbf{p}  \times \mathbf{A}) </math>

Den kan forenkles ved å la dreieimpulsen '''L''' være langs ''z''-aksen slik at bevegelsen skjer i ''xy''-planet. Hvis man så velger Runge-Lenz-vektoren '''A''' langs ''x''-aksen, finner man

: <math> p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = (mk/L)^{2} </math>

Da impulsvektorene '''p''' er proporsjonal med de forskjellige hastighetene '''v''' langs banen, ligger disse på en sirkel med radius ''mk''/''L'' og senter på ''y''-aksen i punktet (0,''A''/''L''). Hodografen  for en Kepler-bevegelse er derfor alltid en sirkel uavhengig av eksentrisiteten til banen. I det spesielle tilfellet at selve partikkelbevegelsen er sirkulær, er ''A'' = 0 og hodografen har sitt senter også i origo.<ref> E. Butikov, ''The velocity hodograph for an arbitrary Keplerian Motion'', European Journal of Physics '''21''', 1-10 (2000).</ref>

Denne sirkulære hodografen spiller også en sentral rolle i [[Richard Feynman]]s «fortapte forelesning» ved [[Caltech]] i 1964.<ref>D.L. Goodstein and J.R. Goodstein, ''Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun'', W. W. Norton & Company, New York (1996). ISBN 0-393-03918-8. </ref> Han ville der forklare ved rent geometriske argument hvordan [[Isaac Newton|Newton]] kunne vise fra sin gravitasjonslov at planetene fulgte ellipseformede baner.<ref> J.F. Carinena, M.F. Ranada and M. Santander, [https://mathphys.uva.es/files/2016/09/CarinnenaRannadaSantander_EurJPhys2016.pdf ''A new look at the Feynman ‘hodograph’ approach to the Kepler first law''], European Journal of Physics '''37''',  025004 (2016).</ref>