Redigerer Pytagoras’ læresetning (avsnitt)

== Bevis ==
[[Fil:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|thumb|Geometri for Euklids bevis.]]
[[Fil:Euclidis elementorum libri priores sex Fleuron T145401-9.png|thumb|Illustrasjon til Euklids bevis fra 1756. Lignende figurer er blitt beskrevet som en «vindmølle», en «brudestol» og en «påfugl-hale».]]
Pytagoras’ læresetning antas å være et av de teoremene i matematikk som er bevist på flest alternative måter. Boken ''Pythagorean Proposition'' av Elisha Scott Loomis inneholder hele 370 bevis.<ref name=ESL1>[[#ESL| E.S. Loomis: ''The Pythagorean proposition'']] s.1 </ref>  I boken er 109 bevis karakterisert som algebraiske og 255 som geometriske.  De resterende seks er basert på vektorregning eller dynamiske argument.  Et ''geometrisk'' bevis bygger ifølge Loomis på sammenligning av [[areal]]et til de tre kvadratene konstruert fra sidelengdene, mens et ''aritmetisk'' er basert på lineære relasjoner mellom sidelengder eller areal, for eksempel ved bruk av [[Trekant#Formlike trekanter|formlike]] trekanter.  Denne inndelingen er kanskje ikke entydig, og mange bevis har innslag av både geometri og [[algebra]].  

=== Euklids bevis ===
I Euklids ''Elementer'', teorem 47 i bok I, finner man det eldste kjente beviset for Pytagoras’ teorem.<ref name=BO119>[[#BOYER|C.B.Boyer: ''A history of mathematics'']] s.119 </ref><ref name=P47>{{kilde www| url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086%3Abook%3D1%3Atype%3DProp%3Anumber%3D47 |tittel=Euclid ''Elements''. Book I, Proposition 47 |språk=en |utgiver=Perseus Digital Library |besøksdato=2021-03-12}}</ref>  Det er vanlig å referere til Euklids bøker med romertall for bindet og et vanlig tall for den gjeldende satsen, slik at Pytagoras’ teorem er I.47.
Beviset for I.47 er basert på en sammenligning av areal.

La <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math> være hjørnene i en rettvinklet trekant, med den rette vinkel ved <math>A</math> som vist på figuren. Til hver side i trekanten er det tegnet et [[kvadrat]].  En [[normal (geometri)|normal]] fra hjørnet <math>A</math> til hypotenusen <math>BC</math> deler kvadratet på hypotenusen i to [[rektangel|rektangler]], på figure vist i blått og rosa.  Euklid beviste setningen ved å vise at arealet til hver av de to minste kvadratene er lik arealet av ett av rektanglene, vist med fargene i figuren.  Arealsummen av de to minste kvadratene er dermed lik arealet til det største kvadratet.

Beviset bygger på flere [[lemma (matematikk)|hjelpesetninger]], som Euklid viser tidligere i bok I.  Disse vil bli brukt videre, uten bevis her.
# Hvis to trekanter er slik at to sider i den ene er lik tilsvarende to sider i den andre, og den mellomliggende vinkel er lik i begge, så er trekantene [[Kongruens (geometri)|kongruente]].
# Arealet av en gitt trekant er lik halvparten av arealet i et vilkårlig [[parallellogram]] med samme grunnlinje og høyde.
# Arealet av et  rektangel er lik produktet av to tilstøtende sider.   
# Arealet av et kvadrat er lik produktet av to sider.

Beviset er som følger:
#La <math>ACB</math> være en rettvinklet trekant, med den rette vinkelen gitt ved <math>\angle BAC</math>.
#På hver av sidene <math>BC</math>, <math>AB</math> og <math>CA</math> tegnes kvadrater, henholdsvis <math>CBDE</math>, <math>BAGF</math> og <math>ACIH</math>.
#Fra <math>A</math> trekkes en linje parallell med <math>BD</math> og <math>CE</math>. Den krysser <math>BC</math> og <math>DE</math> i rett vinkel ved henholdsvis <math>K</math> og <math>L</math>.
#Forbind <math>CF</math> og <math>AD</math>. Derved dannes trekantene <math>BCF</math> og <math>ADB</math>.
#Vinklene <math>\angle CAB</math> og <math>\angle BAG</math> er begge rette. Punktene <math>C</math>, <math>A</math> og <math>G</math> ligger derfor på samme linje. Tilsvarende ligger <math>B</math>, <math>A</math> og <math>H</math> på en rett linje.
#Vinklene <math>\angle CBD</math> og <math>\angle FBA</math> er begge rette. Dermed er <math>\angle ABD</math> lik <math>\angle FBC</math>, siden begge er summen av en rett vinkel og den felles <math>\angle ABC</math>.
#Siden <math>AB</math> og <math>BD</math> er tilsvarende like med <math>FB</math> og <math>BC</math>, må trekanten <math>ABD</math> være kongruent med trekanten <math>FBC</math>.
#Ved bruk av hjelpesetning nr.2 må rektangelet <math>BDLK</math> være dobbelt så stort som trekanten <math>ABD</math>.
#Ved bruk av hjelpesetning nr.2 må rektangelet <math>BAGF</math> være dobbelt så stort som trekanten <math>FBC</math>.
#Dermed må rektangelet <math>BDLK</math> ha samme areal som kvadratet <math>BAGF</math>, det vil si at <math>AB^2 = BD \times BK</math>.
#Tilsvarende kan det vises at rektangelet <math>CKLE</math> må ha samme areal som kvadratet <math>ACIH</math>, det vil si at <math>AC^2 = KL \times KC</math>.
#Ved å addere disse to resultatene: <math>AB^2 + AC^2 = BD \times BK + KL \times KC</math>.
#Siden <math>BD = KL</math>, så er <math> BD \times BK + KL \times KC = BD(BK \times KC) = BD \times BC</math>.
#Dermed er <math>AB^2 + AC^2 = BC^2</math>, siden <math>CBDE</math> er et kvadrat.

Beviset har tidligere vært pensum i norsk [[realskole]].{{tr}} Det finnes enklere bevis, men gjennomgang av fremgangsmåten kan være en egnet øvelse i matematisk tenkning.

Figuren til Euklids bevis, med hjelpelinjer til alle fire kvadrater, er berømt. Den er blitt beskrevet som en «vindmølle», en «brudestol» og en «påfugl-hale».<ref name=BO119/>
Også navnet [[pons asinorum]] er blitt brukt om figuren.<ref name=ESL120>[[#ESL| E.S. Loomis: ''The Pythagorean proposition'']] s.120 </ref>  Dette latinske utrrykket betyr
«eselbroen» eller «idiotbroen», og uttrykket knyttes vanligvis til en annen Euklid-figur, brukt i forbindelse med ''Elementer'' I.5.<ref>{{kilde bok | forfatter= David Eugene Smith |tittel=History of mathematics |bind=II |forlag=Ginn and Company |år= 1925 |språk=en |side=284 |url=https://archive.org/details/historyofmathema031897mbp/page/n299/mode/2up?q=pons }}</ref>

=== Bevis ved bruk av formlike trekanter ===
[[Fil:Proof-Pythagorean-Theorem.svg|thumb|right|Bevis ved bruk av likedannede trekanter.]]
Mange av bevisene for Pytagoras’ setning er basert på forhold mellom sidelengder i to formlike trekanter. Elisha Scott Loomis omtaler dette som det korteste av alle Pytagoras-bevisene og kaller det også for «Legendre-beviset».<ref name=ESL24>[[#ESL| E.S. Loomis: ''The Pythagorean proposition'']] s.24 </ref>
En lærebok i geometri fra 1858, basert på arbeid av [[Adrien-Marie Legendre]], gjengir beviset.  [[Thomas Heath]] foreslår dette som ett alternativ for et bevis som kan ha vært brukt av pytagoreerne.<ref name=TH144>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] (Vol. I) s.144-149 </ref>

La <math>ABC</math> være en rettvinklet trekant.  Den rette vinkelen er ved <math>C</math>, slik figuren viser. Høyden fra hjørnet <math>C</math> treffer siden <math>AB</math> i fotpunktet <math>H</math>. 
Trekanten <math>ACH</math> er formlik med trekanten <math>ABC</math>, da begge er rettvinklede og vinkelen ved <math>A</math> er felles.  Tilsvarende er trekanten <math>CBH</math> formlik med <math>ABC</math>. 
Til sammen resulterer dette i følgende forhold mellom sidelengder:

:<math> \frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \qquad \text{og} \qquad \frac{b}{c} = \frac{AH}{b} \ .</math>

Dette kan skrives som 

:<math>a^2=c\times HB \qquad \text{og} \qquad b^2= c \times AH \ .</math>

Summasjon av de to uttrykkene gir 

:<math>
a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .
</math>

=== Garfields bevis ===
[[Fil:Aa garfield pythag.svg|thumb|right|Geometri brukt i Garfields bevis.]]
[[James Garfield]] er opphavsmann for det følgende beviset.<ref>{{kilde www |utgiver= Angie Head, University of Georgia | url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/emt668.student.folders/HeadAngela/essay1/Pythagorean.html |tittel=Pythagorean theorem |språk=en |besøksdato=2021-03-12}}</ref><ref name=MAA>{{kilde www | url=https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasure-james-a-garfields-proof-of-the-pythagorean-theorem | tittel=Mathematical Treasure: James A. Garfield's Proof of the Pythagorean Theorem | språk=en | utgiver=Mathematical Association of America | besøksdato=2021-03-12 | arkiv-dato=2021-12-06 | arkiv-url=https://web.archive.org/web/20211206052548/https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasure-james-a-garfields-proof-of-the-pythagorean-theorem | url-status=yes }}</ref> 
Han var jurist og medlem av den amerikanske [[Kongressen (USA)|Kongressen]], og han oppdaget beviset i 1876 som følge av en matematisk diskusjon med andre kongressmedlemmer.  Garfield ble president i [[USA]] i 1881, men han ble skutt og drept etter bare fire måneder i embetet.  

Arealet av et generelt [[trapes]] med høyde <math>h</math> og lengder av de to parallelle sidene <math>s_1</math> og <math>s_2</math> er gitt ved

:<math>A=\frac{h}{2}(s_1 + s_2).</math>

Da er arealet av trapeset vist i figuren:
:<math>A=\frac{(a+b)}{2}(a + b) = \frac{(a+b)^2}{2} .</math>

Trekant 1 og 2 er identiske, med areal

:<math>A_1 = A_2 = \frac{ab}{2}.</math>.

Trekant 3 er rettvinklet, og arealet er lik halvparten av kvadratet på hypotenusen:

:<math>A_3 = \frac{c^2}{2}. </math>

Et alternativt uttrykk for arealet til trapeset finner en ved å summere arealene til de tre trekantene:

: <math>A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} +  \frac{c^2}{2} = ab +  \frac{c^2}{2} \ .</math>

En sammenstillingen av de to uttrykkene for trapesarealet gir

:<math>
\begin{alignat}{2}
\frac{(a+b)^2}{2} \ &= \ ab +  \frac{c^2}{2} \\[5pt]
a^2 + 2ab + b^2 \ &= \ 2ab +  c^2  \\[5pt]
a^2 + b^2 \ &= \ c^2 .
\end{alignat}
</math>

=== Bevis ved reorganisering ===
[[Fil:Pythagoras-proof-anim.svg|thumb|Bevis av Pytagoras’ teorem ved reorganisering.  Klikk på bildet for animasjon.|left]]

Det eksisterer flere bevis basert på å reorganisere areal.  Et eksempel er vist i figuren til venstre.  De to store kvadratene i figuren er like store, begge med sidelengde <math>a + b</math>.
De to kvadratene skiller seg kun ved den innvendige plasseringen av de fire trekantene. Arealet av de hvite områdene i de to store kvadratene må derfor være like, og dette gir Pytagoras’ setning.

Thomas Heath omtaler dette beviset og et forslag fra de to matematikerne [[Carl Anton Bretschneider]] og [[Hermann Hankel]] om at dette kan ha vært kjent av pytagoreerne.<ref name=TH144/>
Heath vil ikke avvise en slik teori, men mener selv at det er mer sannsynlig at pytagoreerne kjente beviset basert på formlike trekanter.  

=== Algebraisk bevis ===
[[Fil:Pythagproof.svg|thumb|Algebraisk bevis med fire identiske trekanter i et større kvadrat.]]

Et algebraisk bevis kan gjennomføres ved å betrakte fire identiske trekanter plassert i hjørnene til et større kvadrat.<ref name=CUT4>{{kilde www |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#4 |tittel=Pythagorean theorem. Proof 4 |språk=en |utgiver=Cut the Knot |besøksdato=2021-03-13}}</ref>
Beviset er gjengitt av den indiske matematikeren [[Bhaskara]], som levde på 1200-tallet.  

Sidelengdene i trekantene er <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math>, og det store kvadratet har sidelengde <math>A + B</math>.

Arealet <math>S_T</math> av hver av de fire trekantene er gitt ved:

:<math>S_T = \frac{1}{2} AB \ .</math>

I hver trekant er motstående vinkel til <math>A</math>-siden og <math>B</math>-siden [[komplementvinkler]]. Også det blå området er derfor et kvadrat, med areal lik <math>C^2</math>. 
Arealet <math>S</math> til det store kvadratet med sidelengde <math>(A + B)</math> er gitt ved

:<math>S = (A + B)^2</math>

Alternativt kan dette uttrykkes som arealsummen for de fire trekantene og det blå kvadratet:

:<math>S = 4S_T + C^2 = 4\left(\frac{1}{2}AB \right) + C^2 \ .</math>

En sammenstilling av de to uttrykkene for <math>S</math> gir Pytagoras’ teorem.