Redigerer Potensiell energi (avsnitt)

==Innledning==

En masse ''m'' er påvirket av [[tyngdekraften]] ''F = - mg'' hvor ''g'' = 9.81&thinsp;m/s<sup>2</sup> er [[tyngdeakselerasjon]]en ved jordoverflaten.<ref name="ergo-1">N.P. Callin, C.W. Tellefsen, S. Haagensen, J. Pålsgård og R. Stadsnes, ''ERGO Fysikk 1'', Aschehoug, Oslo (2007). ISBN 9788203335051.</ref> Minustegnet viser at den virker nedover. Massen løftes nå en høyde ''z'' > 0. Det gjøres ved å utsette den for en motsatt kraft {{nowrap|''F'&thinsp;'' {{=}} ''mg''}} som beveger den oppover. Nå kan dette gjøres svært langsomt da totalkraften som virker på massen {{nowrap|''F + F'&thinsp;'' {{=}} 0}}. Arbeidet som dermed er utført ved flyttingen, er {{nowrap|''F'&thinsp;z'' {{=}} ''mgz''}}.<ref name="YF">H.D. Young and R.A. Freedman,  ''University Physics'',  Addison Wesley, New York (2008). ISBN 978-0-321-50130-1.</ref> Ifølge definisjonen er dette nå lik med den potensielle energien til massen i sin nye posisjon,

: <math>  U(z) = mgz </math>

Den øker med økende høyde ''z''. Slipper man massen fra denne høyden, vil den falle ned til ''z'' = 0 hvor den har en hastighet ''v''. Det skjer ved at den potensielle energien går over i [[kinetisk energi]]. [[Energiprinsippet|Bevarelse av energi]] sier at disse to energiene må være like store. Det betyr at

: <math> {1\over 2}mv^2 = mgz </math>

slik at hastigheten etter [[fritt fall|fallet]] blir ''v'' = &radic;(2''gz''). Den potensielle energien ''U''(''z'') = ''mgz''&thinsp; kan opplagt også benyttes til produsere annen energi som for eksempel å drive en elektrisk [[dynamo]].

Det eksisterer her en direkte sammenheng mellom den potensielle energien og kraften som virker på massen. I dette tilfellet ser man at  tyngdekraften ''F'' er lik minus den deriverte av den potensielle energien,

: <math> F = - {dU\over dz} </math>

Denne sammenhengen kan lett generaliseres og er svært allmenngyldig. Når det er tilfelle, har man å gjøre med en '''konservativ kraft''' som påvirker systemet. Grunnen er at da vil den totale energien til systemet være bevart eller konservert.<ref name="Tipler">P. Tipler, ''Physics for Scientists and Engineers'', W. H. Freeman, New York (2004). ISBN 0-7167-0809-4.</ref>

===Elastisk energi===
[[Fil:Animated-mass-spring.gif|right|frame|Den potensielle energien i fjæren svinger over til [[kinetisk energi]] av massen.]]
Elastisk potensiell energi er den potensielle energien til et elastisk legeme, for eksempel en [[armbrøst]] eller en [[katapult]], som blir deformert under stramming eller kompresjon, noe som ofte kalles  ''fysisk stress''. Energien oppstår som følge av en kraft som prøver å gjenopprette den opprinnelige formen til legemet. Denne kraften er som oftest den [[elektromagnetisk kraft|elektromagnetiske kraften]] mellom atomer og molekyler i legemet.<ref name="Serway">R.A. Serway and J.W. Jewett, ''Physics for Scientists and Engineers'',  Brooks/Cole, Boston (2004). ISBN 0-534-40842-7.</ref>

Når en elastisk [[fjær (teknikk)|fjær]] strekkes, må man yte en kraft ''F'&thinsp;'' som virker mot den elastiske kraften ''F&thinsp;'' i fjæren.  Disse to er like store og motsatt rettet når dette skjer langsomt. Hvis den strekkes langs ''x''-aksen og følger [[Hookes lov]], er kraften som må brukes proporsjonal med utslaget ''x'' fra likevektsstillingen. Betegnes fjærkonstanten med ''k'', kan man da skrive {{nowrap|''F' {{=}} kx''}} = - ''F''.

Arbeidet som utføres på systemet ved å strekke fjæren et lite stykke ''&delta;x&thinsp;'' blir da ''{{nowrap|&delta;W {{=}} F'&thinsp;&delta;x}} = kx&delta;x''. Den potensielle energien til fjæren er nå gitt ved arbeidet ''W'' som må utføres for å strekke den fra likevektsposisjonen {{nowrap|''x'' {{=}} 0}} til en lengde ''x'',

: <math>   U(x) = \int_0^x kxdx  = {1\over 2} kx^2</math>

Denne energien er alltid positiv som tilsvarer at fjæren yter en motkraft både når den strekkes og trykkes sammen. Festes en masse ''m'' til den ene enden av fjæren samtidig som den holdes fast i den andre enden, vil massen bevege seg opp og ned i tyngdefeltet. Energien skifter regelmessig mellom å være potensiell og kinetisk. Massen utfører en [[harmonisk oscillator|harmonisk svingning]] med en [[vinkelfrekvens]] {{nowrap|''&omega;'' {{=}} &radic;(''k/m'')}}.

Hadde fjærkraften avveket litt fra Hookes lov, ville det bety at den potensielle energien fikk et ekstra tilleggsledd proporsjonal med ''x<sup>4</sup>'' eller tilsvarende slik at den ikke lenger ville ha en rent [[parabol]]sk form. Svingebevegelsen ville igjen bli periodisk, men litt uharmonisk.<ref name = Tipler/>

Ved å derivere den potensielle energien med hensyn på ''x'', får man ''dU''/''dx'' = ''kx'' som igjen er minus kraften ''F'' som fjæren utøver. Den er derfor konservativ.