Redigerer Plancks strålingslov (avsnitt)

==Plancks formel==

Den totale energien ''U(T)''  til den sorte strålingen i et volum ''V'' ved temperatur ''T'' er gitt ved energitettheten ''u(T) = U/V''. Denne tettheten får bidrag fra forskjellige frekvenser ''&nu;'' av den [[elektromagnetisk|elektromagnetiske strålingen]] den består av. Denne avhengigheten beskrives ved den '''spektrale energitettheten''' ''u<sub>&nu;</sub>(T)'' slik at ''Vu<sub>&nu;</sub>d&nu;'' er den totale energien fra bølger i frekvensintervallet mellom ''&nu;'' og ''d&nu;''. Planck viste at denne tettheten gitt ved formelen

:<math>u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu /k_BT} - 1}  </math>

var i overensstemmelse med alle måleresultat og observasjoner. Her er ''k<sub>B</sub>'' [[Boltzmanns konstant]] og ''h'' den nye [[Plancks konstant|konstanten]] han hadde vært nødt til å innføre. Den oppfylte også det generelle kravet utledet tidligere av [[Wilhelm Wien]] at den måtte være ''&nu;<sup>3</sup>'' multiplisert med en funksjon av ''&nu;/T'' som ligger bak [[Wiens forskyvningslov]]. Eksperimentelt har den fått den mest nøyaktige bekreftelse fra målingene av den spektrale intensiteten til den [[kosmisk bakgrunnsstråling|kosmiske bakgrunnsstrålingen]] gjennomført siden [[1990]].

For høye frekvenser som oppfyller ''h&nu; > k<sub>B</sub>T'', går dette uttrykket over i

: <math>  u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3 }{c^3}  e^{- h\nu /k_BT}  </math>

som er [[Wiens strålingslov]]. I den motsatte grensen ''h&nu; < k<sub>B</sub>T''  kan man benytte at ''e<sup>x</sup>'' &asymp; 1 + ''x&thinsp;'' når ''x'' < 1. Det gir at

: <math>  u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} k_B T </math>

som er [[Rayleigh-Jeans' strålingslov]]. Det var akkurat denne lineære økningen med temperaturen som var påvist i målingene og som var den utløsende faktor for Planck til å prøve å finne en ny strålingsformel.

===Stefan-Boltzmanns konstant===

Den fulle energitettheten ''u(T)'' finnes ved å integrere over alle frekvenser ''&nu;'' fra null til uendelig. Ved å skifte integrasjonsvariabel til {{nowrap|''x {{=}} h&nu;/k<sub>B</sub>T''}}, er den da gitt som

:<math>u(T) = \frac{8\pi h }{c^3} \left(k_BT/h\right)^4 \int_{0}^{\infty}\!dx \frac{x^3}{e^x - 1} </math>.

Integralet her har verdien ''&pi;''<sup>&thinsp;4</sup>/15 slik at resultatet tar formen ''u = aT''<sup>4</sup>. Da den utstrålte [[varmestråling|fluksen]] fra et sort legeme er {{nowrap|''&Phi;'' {{=}} (''c''/4)''u''}}, kan denne skrives som {{nowrap|''&Phi;'' {{=}} ''&sigma;T''<sup>4</sup>}} som er [[Stefan-Boltzmanns lov]]. Her inngår deres konstant {{nowrap|''&sigma;'' {{=}} ''ca''/4}} som dermed blir

:<math> \sigma=\frac{2\pi^5 {k_B}^4}{15c^2h^3} </math>

Verdien på denne var godt kjent på Plancks tid, og han benyttet den til å bestemme verdien til sin egen, nye konstant ''h''.

===Wiens forskyvningslov===
[[Fil:BlackbodySpectrum loglog de.svg|mini|Den spektrale intensiteten til sort stråling ved forskjellige temperaturer. Den gule kurven tilsvarer strålingen fra [[Solen]] og den røde strålingen fra [[Jorden]].]]
Den spektrale energifordelingen til Planck har et maksimum som varierer med temperaturen. Historisk er det vanlig å beregne dette fra den sprektrale fordelingen ''u<sub>&lambda;</sub>(T)'' med hensyn på bølglengden ''&lambda; = c/&nu;''. Denne defineres ved ''u<sub>&lambda;</sub>d&lambda; = u<sub>&nu;</sub>d&nu;'' som gir

:<math>u_\lambda(T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda k_BT}-1} </math>

Bølgelengden ved maksimum av denne funksjonen finnes nå fra betingelsen {{nowrap|''&part;u<sub>&lambda;</sub>/&part;&lambda; {{=}} 0''}}. Ved å innføre {{nowrap|''x {{=}} hc/&lambda;k<sub>B</sub>T''}} i stedet for ''&lambda;'' som variabel, gir nå derivasjonen ligningen

:<math> {8\pi h c\over\lambda^6}\left[{xe^x\over (e^x -1)^2} - {5\over e^x - 1}\right] = 0. </math>

Det betyr at ''x/5 = 1 - e<sup>&thinsp;-x</sup>'' som må løses numerisk. Man finner da at ''x<sub>m</sub>'' = 4,96511... ved maksimum. Den tilsvarende bølgelengden oppfyller dermed

:<math>\lambda_m T = {hc\over x_m k_B} = 2898\,\mu\mathrm{m\cdot K} </math>

Desto høyere temperaturen blir, desto mindre blir derfor bølgelengden for den maksimale intensiteten. Dette er [[Wiens forskyvningslov]] og stemte godt med eksperiment.  Lummer og Pringsheim fant i [[1900]] at konstanten på høyre side hadde verdien 2940&thinsp;''&mu;''m&sdot;K, i meget god overensstemmelse med dagens verdi.<ref>O. Lummer und E. Pringsheim,  Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft '''2''', 176 (1900).</ref>

[[Solen]] har en overflatetemperatur på ca. 5780 K som gir {{nowrap|''&lambda;<sub>m</sub>''  {{=}} 530 nm}}  som tilsvarer synlig lys. [[Jorden]] med en overflatetemperatur på ca. 300 K, vil ha maksimal utstråling for bølgelengder rundt 10&thinsp;&mu;m som er i den [[infrarød stråling|infrarøde]] delen av det [[elektromagnetisk spekter|elektromagnetiske spekteret]] og blir absorbert i atmosfæren. Dette er en viktig grunn for [[drivhuseffekt]]en. Den [[kosmisk bakgrunnsstråling|kosmiske bakgrunnstrålingen]] har en temperatur i dag på {{nowrap|''T'' {{=}} 2,73&thinsp;K}} som tilsvarer bølglengder omkring ''&lambda;''{{nowrap|''<sub>m</sub>''  {{=}} 1&thinsp;mm}} eller frekvenser rundt 300&thinsp;[[GHz]].