Redigerer P-adisk tall (avsnitt)

==Motivasjon==

[[Desimaltall]] er skrevet i et  [[posisjonssystem]] basert på [[grunntall]]et 10. For eksempel er 342 = 3&sdot;10<sup>2</sup> + 4&sdot;10<sup>1</sup> + 2&sdot;10<sup>0</sup> og tilsvarende for andre [[heltall]]. Men et slikt [[tallsystem]] kan også være basert på andre grunntall. Kanskje det mest kjente er [[totallssystem]]et. For et vilkårlig grunntall ''b'' kan man da skrive et positivt [[heltall]] ''x'' som

: <math> x = \sum_{k=0}^n x_k b^k =  x_nb^n + x_{n-1}b^{n-1} + \cdots + x_0 </math>

hvor ''n'' > 0. Heltallet er spesifisert ved sekvensen {{nowrap|(''x''<sub>''n''</sub>,''x''<sub>''n'' -1</sub>,...,''x''<sub>0</sub>)<sub>''b''</sub>}} hvor man ofte kan utelate komma mellom hver term. Disse  koeffisientene må oppfylle {{nowrap|0 &le; ''x<sub>k</sub>'' < ''b''}}. Med denne notasjonen er derfor {{nowrap|(3,4,2)<sub>10</sub>}} = 342, mens {{nowrap|(342)<sub>5</sub>}} = 3&sdot;5<sup>2</sup> + 4&sdot;5<sup>1</sup> + 2&sdot;5<sup>0</sup> = 97. For et gitt grunntall kan man addere og derfor også multiplisere slike heltall. 

[[Negativt tall|Negative tall]] defineres ved at de kan adderes til et positivt tall med resultatet 0 = (0,0,...,0)<sub>''b''</sub>. Med bruk av totallsystemet som har ''b'' = 2, kan man benytte [[toerkomplement]] for å konstruere representasjon av negative tall. For eksempel i en [[datamaskin]] som representerer hvert heltall med fire biter, er 3 = (0011)<sub>2</sub>.  Den inverterte verdi er (1100)<sub>2</sub> slik at toerkomplementet blir -3 = (1100)<sub>2</sub> + 1 = (1101)<sub>2</sub>. Derfor er også  -1 = (1110)<sub>2</sub> + 1 = (1111)<sub>2</sub> i denne sammenhengen. Hvis datamaskinen i stedet benyttet 8 biter for hvert heltall, ville -1 = (11111111)<sub>2</sub> på samme måte.<ref name = RA> J. Reed og J. Aarnes, ''Matematikk i vår tid'', Universitetsforlaget, Oslo (1967).</ref>

Resultatet av mer kompliserte regneoperasjoner kan skrives som [[desimaltall]]. De kan generaliseres til tallsystem med grunntall ''b'' og har da formen

: <math> x = \sum_{k=-\infty}^n x_k b^k =  x_nb^n + x_{n-1}b^{n-1} + \cdots + x_0  + x_{-1}b^{-1} +  x_{-2}b^{-2} + \cdots </math>

Tallet kan uttrykkes ved koeffisientene (''x''<sub>''n''</sub>&thinsp;''x''<sub>''n'' -1</sub> ... ''x''<sub>0</sub>&thinsp;.&thinsp;''x''<sub>-1</sub>''x''<sub>-2</sub> .... )<sub>''b''</sub> når man benytter et punktum for [[desimaltegn]] i det generelle tilfellet. Et vilkårlig, [[reelt tall]] vil ha uendelig mange siffer etter dette tegnet, mens [[rasjonalt tall|rasjonale tall]] har siffer som gjentar seg periodisk. For eksempel er 1/6 = (0.1666....)<sub>10</sub> = (0.1{{overlinje|6}})<sub>10</sub> når man benytter en overlinje for det [[periodisk desimaltall|repeterende tallet]]. Med denne notasjonen er da 1/11 = (0.{{overlinje|09}})<sub>10</sub> = (0.0{{overlinje|90}})<sub>10</sub>. Bruk av et annet grunntall gir en annen representasjon av tallet. Eksempelvis er 1/3 =  (0.{{overlinje|3}})<sub>10</sub> = (0.{{overlinje|13}})<sub>5</sub> når ''b'' = 5. Denne generaliseringen av vanlige desimaltall kan gjøres systematisk for alle grunntall.<ref name="Childs"> L. Childs, ''A Concrete Introduction to Higher Algebra'', Springer-Verlag, New York (1984). ISBN 0-387-90333-X</ref>

===''p''-adisk utvikling===

Mens et desimaltall inneholder en uendelig sum av stadig mindre potenser av grunntallet, kan man betrakte en tilsvarende sum av uendelig mange økende potenser. For eksempel med grunntall ''p'' kan tall på formen 

: <math> x = \sum_{k=0}^\infty x_k p^k =  x_0 + x_1p + \cdots + x_np^n + x_{n+1}p^{n+1} + \cdots </math>

adderes og derfor også multipliseres sammen på helt vanlig måte selv om den uendelige rekken ikke [[konvergens (matematikk)|konvergerer]] på vanlig måte når ''p'' > 1. For at dette skal ha noen mening, må derfor kriteriene for konvergens forandres. Det kan gjøres slik at den uendelige rekken er en veldefinert, ''p''-adisk ekspansjon. Tallet ''x'' sies da på samme måte å være et ''p''-adisk heltall som da kan skrives som (...&thinsp;''x''<sub>''n''</sub>&thinsp;''x''<sub>''n'' -1</sub> ... ''x''<sub>0</sub>)<sub>''p''</sub>. Vanlige heltall kan da uttrykkes i denne representasjonen ved å addere uendelige mange nuller til venstre. For eksempel er 342 = (...000342)<sub>10</sub>  = ({{overlinje|0}}342)<sub>10</sub> som ved den vanlige fremstillingen. 

Da nå 1 = ({{overlinje|0}}1)<sub>''p''</sub>, er den enkle, 3-adiske summen ({{overlinje|2}})<sub>3</sub> + 1 = (...222)<sub>3</sub> + 1 = (...000)<sub>3</sub> = ({{overlinje|0}})<sub>3</sub> = 0 når man gjenomførrer [[addisjon]] fra høyre mot venstre. Derfor må man ha -1 = ({{overlinje|2}})<sub>3</sub> = (...222)<sub>3</sub>. Andre negative tall kan skrives på tilsvarende måte. For eksempel er -2 = (-1)&sdot;2 = (...221)<sub>3</sub> = ({{overlinje|2}}1)<sub>3</sub>  som stemmer med at -2 + 1 = -1. Hadde grunntallet vært ''p'' i stedet, ville -1 = ({{overlinje|''p'' - 1}})<sub>''p''</sub> = (''p'' - 1)({{overlinje|1}})<sub>''p''</sub>&thinsp;. Negative, ''p''-adiske tall   skrives derfor på samme måte som de positive.<ref name="Burger">  E.B. Burger, [https://books.google.no/books?id=PInxBwAAQBAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false ''Exploring the Number Jungle''], American Mathematical Society (2000). ISBN 0-8218-2640-9.</ref>

Disse ''p''-adiske tallene danner en  matematisk [[ring (matematikk)|ring]] hvor addisjon og [[multiplikasjon]] kan utføres. Noen av tallene kan også [[divisjon (matematikk)|divideres]] med hverandre. For eksempel kan [[brøk]]en 1/3 = (0.{{overlinje|3}})<sub>10</sub> representeres ved det 10-adiske tallet ({{overlinje|6}}7)<sub>10</sub> fordi   (...6667)<sub>10</sub>&sdot;3 = (...0001)<sub>10</sub> = 1. Derimot kan man ikke skrive 1/2 på denne måten. I tillegg inneholder ringen  [[nulldivisor]]er slik at produktet ''x''&sdot;''y'' mellom to tall kan være null uten at ''x'' eller ''y'' er null. Samme problem kan oppstå i [[modulær aritmetikk]]. Dette kan unngås ved å kun betrakte ''p''-adiske tall der ''p'' er et [[primtall]] som 2, 3, 5 og så videre. For å samtidig kunne representere resultatet av alle divisjoner, må definisjonen av et ''p''-adisk tall utvides til å være gitt ved den uendelige rekken

: <math> x =  {x_{-m}\over p^m} + \cdots + {x_{-1}\over p} + x_0 + x_1p + x_2p^2  + \cdots </math>

Det kan da skrives som (...&thinsp;''x''<sub>''n''</sub>&thinsp;''x''<sub>''n'' -1</sub> ...''x''<sub>0</sub>&thinsp;.''x''<sub>-1</sub>...''x<sub>-m</sub>'')<sub>''p''</sub> på samme måte som desimaltall skrives når punktum benyttes for [[desimaltegn]]et. Ringen er dermed utvidet til en [[kropp (matematikk)|tallkropp]] hvor alle de fire regningsartene kan utføres. De opprinnelige tallene tilsvarer at ''m'' = 0 og er naturlig å kalle for ''p''-adiske heltall.<ref name="Gouvea"> F.Q. Gouvêa, ''p-adic Numbers: An Introduction'', Springer-Verlag, Berlin (2003). ISBN 3-540-62911-4.</ref>

===Uendelige rekker===

For tallet -1 har man den ''p''-adiske utviklingen

: <math> -1 = (p - 1) (\overline{1})_p = (p-1) (1+ p + p^2 + \cdots) </math>

som er en [[divergent rekke]] og derfor ikke har en veldefinert sum. Men ordner man leddene på en litt annen måte, ser man at alle potenser av ''p'' kansellerer hverandre gjensidig. Derfor har man rent formelt summen

: <math> S = 1+ p + p^2 + \cdots = {1\over 1 - p} </math>

hvor leddene utgjør en [[geometrisk rekke]] der ''p'' > 1. Slike [[divergent rekke|divergente rekker]] ble først systematisk undersøkt av [[Leonhard Euler|Euler]].<ref name = Euler> L. Euler, [https://arxiv.org/pdf/1808.02841.pdf ''De Seriebus divergentibus''], (1760). Oversatt til engelsk.</ref> 

En lignende sum er

: <math> S' =  \cdots + {1\over p^2} + {1\over p} + 1+ p + p^2 + \cdots </math>

Når den multipliseres med ''p&thinsp;'', ser man at ''pS'&thinsp;'' = ''S'&thinsp;''. Da ''p'' > 1, er denne ligningen kun oppfylt når ''S'&thinsp;'' = 0. Samtidig utgjør den første delen av summen en konvergent, geometrisk rekke. Derfor er

: <math> S' = {1/p\over 1 - 1/p} + S = 0 </math>

som igjen betyr at ''S'' = 1/(1 - ''p''). Da denne summen inngår i alle ''p''-adiske ekspansjoner, må konvergens av slike divergente rekker gis et nytt innhold.<ref name = Burger/>