Redigerer Mengde (avsnitt)

== Elementene i en mengde ==
En mengde inneholder visse objekter, kalt ''elementer''. Elementene kan i prinsippet være hva som helst, for eksempel tall, personer, biler, eller andre mengder. En mengde må være ''veldefinert'': for ethvert objekt må det være mulig å avgjøre om objektet er med i mengden eller ikke. Hvis ''x'' er et element i mengden ''M'', skriver man 

:<math>x \in M </math>

At ''x'' ikke er et element i ''M'' kan skrives som

:<math>x \notin M </math>

En mengde kan inneholde mer enn ett eksemplar av et element, men det andre eksemplaret vil være overflødig.  Altså vil {a, b, b} være den samme mengden som {a, b}. Mengden kan inneholde et endelig eller et uendelig antall elementer.  

Definisjonen av en mengde skrives ofte som et sett av klammeparenteser {}, med en beskrivelse av mengden mellom parentesene.  Beskrivelse kan være en opplisting av elementene i mengden:

:<math>M = \lbrace 1,2,3,4 \rbrace </math>

Flere etterfølgende punktum kan brukes istedenfor å liste alle elementene:

:<math>M = \lbrace 1,2,3, ... ,100 \rbrace </math>

Alternativ kan mengden beskrives ved en regel ''P''(''x'') som definerer elementene ''x'':

:<math>M = \lbrace x \, | \, P(x) \rbrace </math>

Definisjonen kan leses som «Mengden ''M'' består av elementene ''x'' som oppfyller ''P''».  Et kolon blir også brukt som alternativ til den vertikale streken.  Dersom en vil spesifisere en større mengde ''A'' som elementene tilhører, så kan definisjonen skrives som

:<math>M = \lbrace x \in A \, | \, P(x) \rbrace </math>

Eksempler på regeldefinisjoner:

* [[Naturlig tall|Naturlige tall]] mindre enn 100:

:<math> M = \lbrace n \in N \,  | \, n < 100 \rbrace </math>

* [[Rasjonalt tall|Rasjonale tall]]: 

:<math>Q = \lbrace \frac{m}{n}  \, | \,  m,n \in Z, n \ne 0 \rbrace </math>

* Definisjon ved operasjon mellom mengder: 

:<math>M = \lbrace x \, | \, x \in A \cup B \rbrace </math>

En mengde kan også defineres [[rekursjon|rekursivt]]:  0 ∈ ''M'', og hvis ''x'' ∈ ''M'', så er ''x''+1 ∈ ''M''.

Mengden som ikke inneholder noen elementer, kalles [[den tomme mengden]] eller ''nullmengden'' og blir betegnet med ∅.  En mengde som inneholder minst ett element er ''ikketom''.