Redigerer Maxwell-fordeling (avsnitt)

==Utledning==

For å kunne forklare hvor raskt en gass kan spre seg utover som for eksempel røyk i et rom med luft, hadde [[Rudolf Clausius]] vist i 1857 at partiklene i en [[gass]] hele tiden må kollidere med andre partikler og slik hindres i en rettlinjet bevegelse. Maxwell innså at dette måtte bety at de teoretisk kunne ha alle mulige hastigheter, og han satte seg som mål å beregne den tiisvarende [[sannsynlighetsfordeling]]en.<ref name = Longair> M. Longair, ''Theoretical Concepts in Physics'', Cambridge University Press, England (2003). ISBN 978-0-521-52878-8.</ref>

I sin første utledning fra 1860 antok han at de tre komponentene ''v<sub>x</sub>'', ''v<sub>y</sub>'' og ''v<sub>z</sub>'' til en generell [[hastighet]] '''v''', er gjennomsnittlig uavhengige av hverandre. Sannsynligheten for at en partikkel har en hastighetskomponent mellom ''v<sub>x</sub>'' og ''v<sub>x</sub>'' + ''dv<sub>x</sub>'', kan da skrives som ''f''(''v<sub>x</sub>'')''dv<sub>x</sub>'' hvor funksjonen ''f''(''v<sub>x</sub>'') må bestemmes. Dermed er sannsynligheten for å finne en hastighet rundt '''v''' = (''v<sub>x</sub>'',''v<sub>y</sub>'',''v<sub>z</sub>'') gitt som

: <math> dP(v) = f(v_x)f(v_y)f(v_z)\, d^3v </math>

Men produktet av de tre fordelingsfunksjonene kan ikke avhenge av retningene, men er nødt til å være en funksjon av den rotasjonssymmetriske
kombinasjonen  ''v''<sup>&thinsp;2</sup> = {{nowrap|'''v'''&sdot;'''v''' {{=}} ''v<sub>x</sub>''<sup>2</sup> + ''v<sub>y</sub>''<sup>2</sup> + ''v<sub>z</sub>''<sup>2</sup>.}} Den eneste funksjonen som oppfyller dette kravet, er [[eksponensialfunksjon]]en

: <math> f(v_x) = \exp(- b v_x^2) </math>

der parameteren ''b&thinsp;'' må være postiv for at ikke vilkårlig store hastigheter skal opptre. Ved å bruke [[kulekoordinater]] i hastighetsrommet, kan man skrive det tilsvarende volumelementet som <math> d^3v = 4\pi v^2 dv. </math> Sannsynligheten for å finne hastigheten <math> v </math> i dette volumelementet er derfor gitt ved funksjonen 

: <math> F(v) = C v^2 \exp(- b v^2) </math>

hvor ''C&thinsp;'' er en normeringskonstant.<ref name = Maxwell>  J.C. Maxwell, ''Illustrations of the dynamical theory of gases''. Part I. ''On the motions and collisions of perfectly elastic spheres'', Series 4 '''19''', 19-32 (1860). [https://www.biodiversitylibrary.org/item/53795#page/32/mode/1up PDF].</ref>

Parameteren ''b&thinsp;'' kunne Maxwell bestemme fra den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] til en partikkel. Denne  er proporsjonal med middelverdien <math> \langle v^2\rangle </math>  og må ifølge tidligere arbeid til Clausius være proporsjonal med temperaturen ''T&thinsp;'' i gassen. Hvis partiklene har masse ''m'', kommer man dermed frem til 

: <math> b =  {m\over 2 k_B T} </math>

Her er det gjort bruk av moderne notasjon hvor ''k<sub>B</sub>&thinsp;'' er [[Boltzmanns konstant]] som ikke var definert på Maxwells tid.<ref name = Lay> J.E. Lay, ''Statistical Mechanics and Thermodynamics of Matter'', Harper & Row Publishers, New York (1990). ISBN 0-06-043884-3.</ref>

===Bedre  begrunnelse===

Det enkle resultatet for hastighetsfordelingen ble snart kritisert fordi utledningen ikke var overbevisende. Maxwell var selv klar over denne svakheten. For eksempel ville ikke argumentasjonen lede til noe som helst resultat for en gass som kun kunne bevege seg i én dimensjon. Noen få år senere kom han frem til en bedre begrunnelse.<ref name =  Longair/>

Ved en elastisk kollisjon mellom to partikler med hastigheter '''v'''<sub>1</sub> og '''v'''<sub>2</sub> , vil disse generelt forandres til '''v'''<sub>3</sub> og '''v'''<sub>4</sub>. For at haastighetsfordelingen skal være den samme før og etter kollisjonen, må man ha

: <math> f(v_1)f(v_2)d^3v_1 d^3v_2 = f(v_3)f(v_4) d^3v_3 d^3v_4 </math>

Dette er kravet til termisk likevekt. Fordelingsfunksjonen må igjen ha formen

: <math> f(v) = \exp(- bv^2) </math>

slik at produktet av to gir én av samme form. Venstre og høyre side av ligningen vil da være like ved alle temperaturer på grunn av energibevarelse,

: <math> {1\over 2} mv_1^2 +  {1\over 2} mv_2^2 = {1\over 2} mv_3^2 +  {1\over 2} mv_4^2</math>

samtidig som at <math> d^3v_1 d^3v_2 = d^3v_3 d^3v_4. </math>  Dette siste kravet viste Maxwell er en direkte konsekvens av [[Bevegelsesmengde|impulsbevarelse]], det vil si

: <math> m\mathbf{v}_1 + m\mathbf{v}_2 =  m\mathbf{v}_3 + m\mathbf{v}_4 </math>

En viktig fordel med dette nye beviset er at kollisjonene ikke nødvendigvis må være som mellom harde kuler, men at de kan vekselvirke via et mer langtrekkende [[Potensiell energi|potensial]]. Det avgjørende er at kollisjonene er elastiske.<ref name = Maxwell-1> J.C. Maxwell, ''On the dynamical theory of gases'', Phil. Trans. Roy. Soc. '''157''' (157), 49-88 (1867). [https://royalsocietypublishing.org/doi/epdf/10.1098/rstl.1867.0004 PDF].</ref>