Redigerer
Maxwell-Boltzmann statistikk
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Utledning== Partiklene i en [[gass]] er i konstant bevegelse. Det medfører at de hele tiden kolliderer med hverandre eller med veggene til volumet som de befinner seg i. Energien til hver partikkel vil derfor hele tiden endre seg, men den totale energien ''E '' til alle partiklene forblir den samme. Denne situasjonen kan man beskrive ved å oppgi hvor mange ''n''<sub>1</sub>  partikler som til hvert øyeblikk har energi ''E''<sub>1</sub>, hvor mange ''n''<sub>2</sub>  som har energi ''E''<sub>2</sub>  og så videre. Hvis systemet inneholder i alt ''N '' partikler, vil da både [[Fil:Boltzmann, Ludwig – Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere weglänge Verschwinden, 1896 – BEIC 10990650.jpg|thumb|200px|Boltzmanns forelesninger om gassteori fra 1896.]] : <math> N = n_1 + n_2 + \cdots </math> og : <math> E = n_1E_1 + n_2 E_2 + \cdots </math> forbli konstante størrelser selv om ''besetningstallene'' ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>  etc forandrer seg. Sammen beskriver de en «makrotilstand» for alle partiklene. Men da partiklene ikke kan adskilles, vil det være mange forskjellige [[mikrotilstand]]er som utgjør en slik makrotilstand avhengig av hvilke partikler som har de tilsvarende energiene. For eksempel hvis {{nowrap|''n''<sub>1</sub> {{=}} 2}}, kunne det være partikkel ''a '' eller ''b '' som hadde energi ''E''<sub>1</sub>  eller ''c '' og ''d '' hvis de kunne identifiseres med tilsvarende merkelapper.<ref name = Lay> J.E. Lay, ''Statistical Mechanics and Thermodynamics of Matter'', Harper & Row Publishers, New York (1990). ISBN 0-06-043884-3.</ref> Den fundamentale antagelsen i [[statistisk mekanikk]] er at hver slik mikrotilstand har samme sannsynlighet for å opptre. Sannsynligheten for en viss makrotilstand gitt ved besetningstallene er derfor proporsjonal med antall mikrotilstander den inneholder. Det er lik med antalll måter man kan dele opp ''N '' objekt i grupper som inneholder ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>  ... av disse. Antallet er : <math> W = {N!\over n_1! n_2! \cdots} </math> som er en generalisering av [[binomialkoeffisienten]]e for to grupper. Den mest sannsynlige makrotilstanden kan herav finnes ved å maksimere dette antallet samtidig som totalt antall partikler ''N '' og total energi ''E '' holdes konstant.<ref name = Sears> F.W. Sears, ''An Introduction to Therrmodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1956).</ref> ===Degenererte tilstander=== De forskjellige makrotilstandene er karakterisert ved besetningstallene ''n<sub>r</sub> '' av energitilstandene ''E<sub>r</sub>''. Men hver slik tilstand kan også bestå av mikrotilstander med samme energi, men litt andre egenskaper. I [[klassisk mekanikk]] er for eksempel energien til en partikkel proporsjonal med kvadratet av dens hastighet og derfor uavhengig om denne er opp eller ned, til vensfre eller til høyre. Likedan i [[kvantemekanikk]]en er energien til en fri partikkel den samme uansett retningen til dens [[spinn]]. Da sier man at partikkelens energi er [[Fermi-Dirac statistikk#Degenerasjon|degenerert]].<ref name= Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.</ref> Man kan ta hensyn til denne mulighten ved å anta at energinivå ''E<sub>r</sub> '' inneholder ''g<sub>r</sub> '' slike mikrotilstander. Den første av de ''n<sub>r</sub> '' partikler det inneholder, kan da plasseres der på ''g<sub>r</sub> '' forskjellige måter. Det gjelder da også for de andre partiklene og dermed på (''g<sub>r</sub>'')''<sup>n<sub>r</sub>  </sup>'' forskjellige måter for alle sammen på dette nivået. Av denne grunn vil det totale antall av mikrotilstander for hele systemet av partikler måtte forandres til : <math> W = N! {g_1^{n_1} g_2^{n_2}\cdots \over n_1! n_2! \cdots} </math> Det er dette antallet som må maksimaliseres for å finne den mest sannsynlige makrotilstanden for hele systemet av partikler.<ref name = Sears/> ===Maksimalisering=== For å finne maksimum av en funksjon, er det nødvendig å beregne hvor dens [[Derivasjon|deriverte]] med hensyn på sine variable er null. Samme fremgangsmåte kan benyttes for å bestemme hvilken fordeling av partikler som gir den største verdien for antallet ''W '' av mikrotilstander. Matematisk er det da en forenkling å maksimalisere den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmen]] ln ''W'', det vil si : <math> \ln W = \ln N! + \sum_r( n_r \ln g_r - \ln n_r!) </math> Da antall partikler ''N '' er meget stort, kan man her benytte [[Stirlings formel]] <math> \ln N! = N \ln N - N. </math> Den kan også benyttes for besettelsestallene ''n<sub>r</sub> '' da det forventes at disse også antar tilsvarende store verdier når systemet er i likevekt.<ref name = Lay/> For å bestemme maksimum til den resulterende funksjonen : <math> \ln W = N\ln N - \sum_r n_r \ln (n_r/g_r) </math> kan man benytte samme metode som i [[variasjonsregning]] ved å betrakte konsekvensen av en liten variasjon <math> n_r \rightarrow n_r + \delta n_r </math> i besettelsestallene. Den resulterende forandringen i ''W '' blir da : <math> \delta \ln W = -\sum_r \ln (n_r/g_r) \delta n_r</math> etter å ha benyttet at <math> \delta N = \sum_r\delta n_r = 0 .</math> Ved maksimum må ''δW '' være null for vilkårlige variasjoner ''δn<sub>r</sub>''. Men disse variasjonene er ikke helt uavhengig av hverandre da man må ta hensyn til at i tillegg til partikkeltalllet ''N '' er også totalenergien ''E '' konstant. Disse bibetingelsene kan inkludere i beregningen ved å innføre to tilsvarende [[Lagrange-multiplikator]]er ''α '' og ''β'' slik at kravet til et maksimum for funksjonen ''W '' blir <math> \delta (\ln W - \alpha N- \beta E) = 0 . </math> Det betyr at man må ha : <math> \sum_r [ \ln (n_r/g_r) + \alpha + \beta E_r] \delta n_r = 0 </math> der variasjonen <math> \delta E = \sum_r E_r \delta n_r </math> følger fra definisjonen av denne energien. Det gir besettelsestallene : <math> n_r = g_r e^{-\alpha - \beta E_r} </math> som beskriver den makrotilstanden som har størst sannsynlighet med bruk av Maxwell-Boltzmann statistikk.<ref name = Sears/>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon