Redigerer Matrise (avsnitt)

== Notasjon og terminologi for generelle matriser ==

=== Dimensjon ===
En matrise betegnes vanligvis med en stor bokstav <math>A</math>, ofte også med fet skrift <math>\mathbf{A}</math>. [[Dimensjon|Dimensjonen]] eller ordenen til matrisen er 
''(n''&nbsp;×&nbsp;''m)'', når ''n'' er antallet rekker og ''m'' er antallet kolonner.  Dette kan markeres på flere måter:<ref name=HL1/>

:<math>A_{nm} \qquad A_{n,m} \qquad  A_{n \times m}  \qquad A(n \times m) </math>.

Tilsvarende sier en også at ''n'' er rekke-dimensjonen og ''m'' er kolonne-dimensjonen.  Matrisen karakteriseres som en ''(n''&nbsp;×&nbsp;''m)''-matrise.  

I en kvadratisk matrise er det like mange kolonner som rekker. Dersom det går klart fram at en matrise er kvadratisk, kan en oppgi dimensjonen som ''n''.<ref name=FB4>[[#FB| Fr. Fabricius-Bjerre: ''Lærebog i geometri....'']] s.4 </ref>

En matrise med bare én rekke eller én søyle kan betraktes som en [[vektor (matematikk)|vektor]] og kalles da henholdsvis en rekkematrise og en søylematrise, alternativ 
en rekkevektor og en søylevektor.<ref name=FB124>[[#FB| Fr. Fabricius-Bjerre: ''Lærebog i geometri....'']] s.124 </ref>  Dimensjonen til disse vil være henholdsvis (1&nbsp;×&nbsp;''m)'' og (''n''&nbsp;×&nbsp;1).  

=== Matrise-elementer ===
I en reell matrise er elementene reelle tall, og i en kompleks matrise er elementene komplekse.
Mengden av alle reelle matriser skrives som <math>\mathbb{R}^{n \times m}</math>, der <math>\mathbb{R}</math> er mengden av reelle tall.  
Mengden av komplekse matriser skrives tilsvarende som <math>\mathbb{C}^{n \times m}</math>.<ref name=HLX1>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.xiv </ref>

Flere alternative skrivemåter for å spesifisere matriser er i vanlig bruk. Dersom alle elementene skal skrives ut, bruker en som regel en form for parenteser 
til å omslutte elementene:

:<math>
A =   \begin{bmatrix}    
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 
 \end{bmatrix}

\qquad

A = \begin{pmatrix}    
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 
  \end{pmatrix}

\qquad

A = \begin{Bmatrix}    
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 
  \end{Bmatrix}

</math>

En generell ''(n''&nbsp;×&nbsp;''m)''-matrise med ''n'' rekker og ''m'' kolonner kan skrives på formen

:<math> A=
  \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm}
  \end{bmatrix}
</math>

Matrise-elementene skrives ofte med liten bokstav, og hvert element er definert ved to indekser:
<math>a_{ij}</math> er elementet i rekke nummer <math>i</math> og kolonne nummer <math>j</math>. 
              
Matriser kan også skrives i kompakt form, uten å definere hvert enkelt element:

:<math>
A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{nm}

\qquad

A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{n,m}

\qquad

A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{n \times m}
</math>

De enkelte elementene kan spesifiseres ved hjelp av en regel, som i det følgende eksempelet:

: <math>
A = 
\begin{bmatrix}
i-j
\end{bmatrix}_{3,3}
= 
\begin{bmatrix}
0 & -1 & -2 \\
1 & 0 & -1 \\
2 & 1 & 0
\end{bmatrix}
</math>

=== Diagonaler ===
I en kvadratisk matrise utgjør elementene <math>a_{ij}</math> med <math>i=j</math> prinsipaldiagonalen eller hoveddiagonalen, ofte omtalt bare som diagonalen.<ref name=HL1/> 
Sekundærdialogen eller skjevdiagonalen går fra øvre høyre hjørne til nedre vestre hjørne, det vil si elementene <math>a_{1+i,n-i}</math>.<ref name=HL273>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.273</ref><ref name=WM1>{{kilde www| url=https://mathworld.wolfram.com/SkewDiagonal.html |tittel=Skew Diagonal |utgiver=Wolfram MathWorld |besøksdato=2022-02-08 }}</ref>

Sammen med hoveddiagonalen kan en definere sidediagonaler, der <math>(i - j) = \mathrm{konstant}</math> eller <math>(j - i) = \mathrm{konstant}</math>.  Diagonalen med <math>(j - i) = 1</math>, 
det vil si diagonalen rett over hoveddiagonalen, kalles superdiagonalen.<ref name=WM2>{{kilde www| url=https://mathworld.wolfram.com/Superdiagonal.html |tittel=Superdiagonal |utgiver=Wolfram MathWorld |besøksdato=2022-02-08 }}</ref>
Tilsvarende kan en definere subdiagonalen som diagonalen rett under hoveddiagonalen.

=== Undermatriser ===
Fra en generell matrise kan en definere en undermatrise eller en submatrise ved å slette at antall rekker og/eller søyler.<ref name=FB101/> 
Det følgende eksempelet viser hvordan en undermatrise er laget fra matrisen <math>A</math> ved å slette en enkelt rad og en enkelt søyle, vist i rød farge;

:<math>\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
1 & \color{red}{2} & 3 & 4 \\
5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\
\color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{red}{12}
\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 3 & 4 \\
5 & 7 & 8
\end{bmatrix}.
</math>

=== Blokkmatriser ===
En matrise definert ved et sett av undermatriser kalles en blokkmatrise eller en partisjonert matrise.<ref name=HL1/>
I det følgende eksempelet er en blokkmatrise <math>A</math> definert ved fire undermatriser <math>B,C,E,F</math>:

:<math>A = \begin{bmatrix}
B & C \\
E & F \\
\end{bmatrix}, \qquad \qquad B = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix}
2 & 2  \\
2 & 2  \\
2 & 2
\end{bmatrix}, \qquad  E = \begin{bmatrix}
3 & 3 & 3 \\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix}, \qquad F = \begin{bmatrix}
4 & 4  \\
4 & 4 
\end{bmatrix} .
</math>

Skrevet med alle elementene fullt ut, er matrisen gitt ved

:<math>
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
3 & 3 & 3 & 4 & 4 \\
3 & 3 & 3 & 4 & 4
\end{bmatrix} .
</math>