Redigerer Magnetisk dipol (avsnitt)

==Magnetisk felt==

Da det ikke finnes [[magnetisk monopol]]er, finnes det heller ikke noe [[magnetisk felt]] som tilsvarer [[Coulombs lov#Coulomb-feltet|Coulomb-feltet]] fra en elektrisk punktladning. Det mest elementære, magnetiske felt skyldes en magnetisk dipol og kan utledes fra [[Biot-Savarts lov]].<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref> For en stasjonær strømfordeling '''J'''('''r''') lar den det [[magnetisk felt|magnetiske vektorpotensialet]] beregnes fra [[integral]]et

:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac {\mu_0}{4 \pi} \int d^3r'\,\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}</math>

Dette tilsvarer integralet for det [[elektrostatikk#Elektrostatisk potensial|elektriske potensialet]] fra en statisk ladningsfordeling ''&rho;''('''r'''). Langt borte fra disse ladningene vil potensialet bli likt med [[Coulombs lov#Coulomb-potensialet|Coulomb-potensialet]]. På samme måte kan det vises i [[magnetostatikk]]en ved en [[multipolutvikling]] at når strømfordelingen er lokalisert innen et begrenset område rundt origo, kan det magnetiske vektorpotensialet i store avstander skrives som

: <math>{\mathbf{A}}({\mathbf{r}}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{{\mathbf{m}}\times{\mathbf{r}}}{r^3} </math>

hvor ''r'' = |'''r'''|&thinsp; og

: <math> \mathbf{m}=\frac{1}{2}\int\!d^3r'\, \mathbf{r'}\times\mathbf{J}(\mathbf{r}') </math>

er det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]] til strømfordelingen. I stedet for å betrakte dette resultatet som gyldig langt unna en [[makroskopisk]], lokalisert strømfordeling, gir det like godt feltet i vilkårlig avstand fra en «punktdipol» uten utstrekning plassert i origo.

Hvis strømfordelingen skyldes en strøm ''I&thinsp;'' som går rundt i en lukket sløyfe ''C'', kan det magnetiske momentet for strømsløyfen finnes fra samme formel ved å erstatte faktoren {{nowrap|''d''<sup>&thinsp;3</sup>''r''&thinsp;'&thinsp;'''J'''('''r'''')&thinsp;}} med ''Id''&thinsp;'''s'&thinsp;''' hvor det differensielle linjeelementet ''d''&thinsp;'''s'&thinsp;''' ligger langs sløyfen. Det gir

: <math> \mathbf{m} = {1\over 2}I\oint_{\!C}\!\mathbf{r'}\times d\mathbf{s'} </math>

Herav følger det enkle resultatet {{nowrap|'''m''' {{=}} ''I''&thinsp;'''S'''}} hvor komponentene til vektoren '''S''' er arealene til projeksjonene av sløyfen ''C'' på de tre koordinatflatene.<ref name = RM>J.R. Reitz and F.J. Milford, ''Foundations of Electromagnetic Theory'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1960).</ref>

===Dipolfeltet===

Fra vektorpotensialet '''A''' følger det [[magnetisk felt|magnetiske induksjonsfeltet]] fra {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A'''}}. Det kan utregnes ved å bruke formelen fra [[vektoranalyse]]n for [[curl]] til et [[kryssprodukt]] av to vektorer. Men for den magnetiske dipolen er '''m''' en konstant vektor og {{nowrap|'''&nabla;'''&sdot;('''r'''/''r''<sup>3</sup>) {{=}} 0}} når {{nowrap|''r'' > 0}}. Derfor kommer det eneste bidraget fra derivasjonen

: <math> (\mathbf{m}\cdot\boldsymbol{\nabla}){\mathbf{r}\over r^3} = {\mathbf{m}\over r^3} - {3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\over r^5} </math>

som gir det magnetiske dipolfeltet

: <math> \mathbf{B}(r > 0) =   {\mu_0\over 4\pi r^3}\Big[3(\mathbf{m}\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} - \mathbf{m}\Big]  </math>

hvor <math>\hat\mathbf{r}</math> = '''r'''/''r''&thinsp; er en enhetsvektor i radiell retning. Det er symmetrisk om retningen til dipolen gitt ved momentet '''m''' og avtar med avstanden i tredje potens.

De forskjellige komponentene til dipolfeltet kommer klarere frem i [[kulekoordinater]] med basisvektorer <math>\hat\mathbf{r}</math>, <math>\hat\boldsymbol{\phi} </math> og <math>\hat\boldsymbol{\theta} </math>. Når '''m''' er plassert langs ''z''-aksen i retning ''&theta;'' = 0, tar vektorpotensialet formen

: <math> \mathbf{A}(\mathbf{r}) =  {\mu_0 m\over 4\pi r^2}\sin\theta\, \hat\boldsymbol{\phi} ,</math>

og er konstant langs sirkler om ''z''-aksen parallelle med ''xy''-planet. Magnetfeltet utenfor dipolen tar  da den tilsvarende formen

: <math> \mathbf{B}(r > 0) =  {\mu_0 m\over 4\pi r^3}\big(2\cos\theta\,\hat\mathbf{r} + \sin\theta\,\hat\boldsymbol{\theta} \big). </math>

som viser mer tydelig at feltet er symmetrisk om ''z''-aksen.<ref name = Griffiths/> Det er også doppelt så sterkt langs denne aksen enn i et punkt i ''xy''-planet  og i samme avstand fra origo.

===Indre magnetfelt===

Magnetfeltet i sentrum ''r'' = 0 av dipolen kan beregnes ved å ta med ledd fra derivasjonen som

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot {\mathbf{r}\over r^3} = 4\pi\delta(\mathbf{r}) </math>

Det komplette feltet blir da<ref name="Zangwill">A. Zangwill, ''Modern Electrodynamics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.</ref>

: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \mathbf{B}(r > 0) + {2\over 3}\mu_0\mathbf{m}\,\delta(\mathbf{r}) </math>

Dette ekstra leddet karakteriserer dipolfeltet fra et magnetisk moment dannet av en mikroskopisk strømsløyfe. Hadde man i stedet tenkt seg dipolmomentet dannet av to motsatte, magnetiske ladninger på samme måte som for en [[dipol|elektrisk dipol]], ville det resulterende magnetfeltet bli

: <math> \mathbf{H}(\mathbf{r}) = {1\over\mu_0}\mathbf{B}(r > 0) -  {1\over 3}\mathbf{m}\,\delta(\mathbf{r}) </math>

Disse to resultatene er forbundet gjennom den vanlige relasjonen {{math|'''B''' {{=}} ''μ''<sub>0</sub>('''H''' + '''M''')}} hvor {{math|'''M''' {{=}} '''m'''''δ''('''r''')}} er [[magnetisering]]en til dipolen.

[[Atomkjerne]]r har [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] [[spinn]] og derfor også et [[magnetisk moment#Elementærpartikler|magnetisk moment]]. Det tilhørende magnetfeltet gir en [[finstruktur|hyperfinsplitting]] av energinivåene til atomet som kan beregnes. Sammenligning med eksperimentelle målinger viser at det er feltet fra et dipolmoment beskrevet som en strømsløyfe, som gir den beste forklaring av denne effekten.<ref>D.J. Griffiths, ''Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen'', American Journal of Physics, '''50'''&thinsp;(8), 698 - 703 (1982).</ref>