Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

==Grunnlag==

Allerede i sitt første, felles ''Dreimännerarbeit'' som la det formelle grunnlaget for [[kvantemekanikk]]en høsten 1925, kvantiserte [[Max Born|Born]], [[Werner Heisenberg|Heisenberg]] og [[Pascual Jordan|Jordan]] dreieimpulsen for en partikkel. Det var basert på bruk av den [[Kvantemekanikk#Kvantedynamikk|kanoniske kommutatoren]] 

: <math> [\hat{x}_a, \hat{p}_b] = i\hbar\, \delta_{ab} </math>

hvor ''ħ&thinsp;'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]], og som Heisenberg hadde kommet frem til om sommeren samme år. Her angir indeksen ''a&thinsp;''  de tre komponentene til posisjonsoperatoren <math> \hat\mathbf{r} = (\hat{x}, \hat{y},\hat{z}).  </math>  På tilsvarende vis skrives da impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} = (\hat{p}_x, \hat{p}_y,\hat{p}_z). </math>  Denne fundamentale kommutatoren betyr at de tre komponentene 

: <math>\begin{align} \hat{L}_x &= \hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y \\ \hat{L}_y &= \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z    \\ \hat{L}_z &= \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x \end{align}</math>

til dreieimpulsoperatoren <math> \hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{r}\times \hat\mathbf{p} </math> heller ikke vil kommutere med hverandre. For eksempel blir

: <math> \begin{align}  \left[\hat{L}_x, \hat{L}_y\right] &= [\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y, \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z] = [ \hat{y}\hat{p}_z,\hat{z}\hat{p}_x]  + [ \hat{z}\hat{p}_y, \hat{x}\hat{p}_z] \\ &= \hat{y} [\hat{p}_z,\hat{z}] \hat{p}_x + \hat{x} [\hat{z},\hat{p}_z] \hat{p}_y = i\hbar ( \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x) = i\hbar\hat{L}_z \end{align}  </math>

På samme måte finner man <math>  \left[\hat{L}_y, \hat{L}_z\right] =  i\hbar\hat{L}_x </math> og <math>  \left[\hat{L}_z, \hat{L}_x\right] =  i\hbar\hat{L}_y. </math> De tre komponentene opptrer på en syklisk symmetrisk måte. Man kan derfor sammenfatte dem i ett uttrykk ved bruk av [[Levi-Civita-symbol]]et. Det kan også benyttes i [[vektorprodukt]]et slik at komponentene til dreieimpulsoperatoren kan skrives som <math> \hat{L}_a = \varepsilon_{abc}\hat{x}_b\hat{p}_c </math> når man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over de to parene med like indekser på høyre side. De tre kommutatorene mellom disse komponentene kan nå oppsummeres i den ene ligningen <math>  \left[\hat{L}_a ,\hat{L}_b\right] =  i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_c .</math> Den inneholder all informasjon som behøves for [[Kvantemekanikk#Kvantisering av dreieimpuls|kvantisering av dreieimpulser]].<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>