Redigerer Kvantisert Hall-effekt (avsnitt)

==Magnetotransport i to dimensjoner==

[[Elektrisk strøm]] kan beskrives i [[klassisk fysikk]] ved bruke av [[Elektrisk motstand#Drude-modellen|Drudes modell]]. Man tenker seg vanligvis en gass av elektroner med ladning -''e'' og med hastighet '''v''' som beveger seg under innflytelse av et [[elektrisk felt]] '''E''', men kolliderer stadig med de faste [[atom]]ene i krystallgitteret som karakteriserer den [[elektrisk leder|elektriske lederen]]. Den gjennomsnittlige tiden mellom hver kollisjon er ''&tau;''. Hvis det samtidig også virker et [[magnetisk felt]] '''B''', omtales den resulterende strømmen som en '''magnetostransport'''. I en slik sammenheng opptrer den vanlige [[Hall-effekt]]en.<ref name="AM">N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, ''Solid State Physics'', Holt, Reinhart and Winston, New York (1976). ISBN 978-0-030-83993-1.</ref>

Da bevegelsen til hvert elektron også er påvirket av den magnetiske [[Lorentz-kraft]]en, vil den være bestemt av [[Newtons lover|Newtons andre lov]]

: <math> m{d\mathbf{v}\over dt} = -e( \mathbf{E} +  \mathbf{v}\times\mathbf{B}) - {m\over\tau}\mathbf{v} </math>

hvor det siste leddet på høyre side er en friksjonskraft som skyldes kollisjoner med atomene. En annen effekt av krystallgitteret er at massen ''m'' til elektronet har en mye mindre verdi enn for et helt fritt elektron.<ref name = AM/> Fra denne bevegelsesligningen kan man nå beregne [[elektrisk strøm#Driftshastighet|driftshastigheten]]. Når all bevegelse skjer i ''xy''-planet og magnetfeltet står vinkelrett på dette, er denne stasjonære hastigheten gitt ved komponentene (''v<sub>x</sub>'',''v<sub>y</sub>'') som må oppfylle de to ligningene

: <math> {v_x\over\tau} + \omega_c v_y = - {e\over m}E_x, \;  \;   \;  {v_y\over\tau} - \omega_c v_x = - {e\over m}E_y</math>

hvor ''&omega;<sub>c</sub>'' = ''eB''/''m''&thinsp; er [[Lorentz-kraft#Syklotronbevegelse|syklotronfrekvensen]]  for elektronene i magnetfeltet. Denne driftshastigheten tilsvarer strømtettheten {{nowrap|'''J''' {{=}} -''en''&thinsp;'''v'''}} hvor ''n'' er tettheten av elektroner i planet. Fra de to komponentene gitt ved

: <math>  \sigma E_x = J_x + \omega_c\tau J_y,  \;  \;   \;   \sigma E_y = J_y - \omega_c\tau J_x, </math>

hvor ''&sigma;'' = ''ne''<sup>2</sup>''&tau;''/''m'', ser man at [[elektrisk motstand|restiviteten]] ''&rho;'' kobler sammen strøm og felt med forskjellige retninger. Den kan derfor fremstilles som en [[tensor]] definert ved {{nowrap|''E<sub>i</sub>'' {{=}} ''&rho;<sub>i&thinsp;j</sub>&thinsp;J<sub>j</sub>''}}. De diagonale komponentene {{nowrap|''&rho;<sub>xx</sub>'' {{=}} ''&rho;<sub>yy</sub>''}} = {{nowrap|1/''&sigma;'' {{=}} ''m''/''ne''<sup>2</sup>''&tau;&thinsp;''}} er de samme som for en [[elektrisk motstand#Drudemodellen|vanlig strøm]] og upåvirket av magnetfeltet. Men de to ikke-diagonale komponentene {{nowrap|''&rho;<sub>xy</sub>'' {{=}}  -''&rho;<sub>yx</sub>''}} = ''&omega;<sub>c</sub>&tau;''/''&sigma;'' = ''B''&thinsp;/''ne'' øker  proporsjonalt med ''B''.