Redigerer Kontinuitetsligning (avsnitt)

==Matematisk utledning==

En bevart størrelse kan ikke oppstå eller bare forsvinne. Mengden av den på et sted kan bare forandres ved at deler av den strømmer til eller fra dette stedet. Er den beskrevet ved tettheten  {{nowrap|''&rho;&thinsp; {{=}} &rho;''('''x''',''t'')}}, er mengden av den ''Q&thinsp;'' innen et endelig volum ''V&thinsp;'' gitt ved integralet

: <math> Q(t)  =  \int_V \!d^3x \rho(\mathbf{x},t) </math>

Øker denne mengden, må det skyldes at det er strømmet noe inn. Omvendt vil noe ha strømmet ut hvis mengden ''Q&thinsp;'' er blitt mindre. Denne strømmen er gitt ved [[fluks]]vektoren {{nowrap|'''J''' {{=}} '''J'''('''x''',''t'')}}. Betrakter man et lite flateelement ''d''&thinsp;'''S'''&thinsp; med retning [[vinkelrett|normalt]] på flaten, vil mengden som strømmer gjennom det være gitt ved den differensielle [[fluks]]en '''J'''&sdot;''d''&thinsp;'''S'''. Integrerer man dette derfor over hele overflaten ''S&thinsp;'' til volumet ''V'', vil det gi den totale mengden som har strømmet ut av volumet per tidsenhet. Derfor har man at

: <math>  {dQ\over dt} = - \oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} </math>

som kan sies å være en global versjon av kontinuitetsligningen.<ref name = Falkovich/> Den lokale formen av ligningen fås ved å skrive venstre side som

: <math>  {dQ\over dt} =  \int_V \!d^3x {\partial\rho\over\partial t}, </math>

mens høyre side omformes ved bruk av [[divergensteoremet]]. Det gir

: <math> \int_V \!d^3x\left({\partial\rho\over\partial t} +  \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} \right) = 0 </math>

Volumet som her er valgt, er ganske vilkårlig. Derfor må dette resultatet være gyldig for alle volum. Den eneste måten denne globale ligningen da alltid kan være gyldig, er at inneholdet i parentesen er null. Det gir kontinuitetsligningen på lokal form.

Under stasjonære forhold når ladninger og strømmer er konstante, vil ''&part;&rho;''/''&part;&thinsp;t'' = 0 slik at strømtettheten må overalt oppfylle {{nowrap|'''&nabla;&sdot;J''' {{=}} 0}}. Den vil derfor gå i en lukket kurve som tilsvarer en strømkrets. Gjennom overflaten til et endelig volum vil like mye strømme inn som det strømmer ut.