Redigerer Kjeglesnitt (avsnitt)

== Historie ==
Sirkelen er en av de eldste studerte geometriske formene.  Også ellipsen har sannsynligvis vært kjent i svært lang tid, da formen oppstår i mange daglige situasjoner. 
For eksempel opptrer en ellipse når en sirkel sees fra siden og når en [[sylinder|sylindrisk]] trestamme blir kuttet skjevt i to stykker. 
Lys som går gjennom et lite sirkulært hull og treffer skjevt på en vegg vil også synes som en ellipse: Lyset danner en kjegle som blir kuttet over av veggen.

===Menaikhmos og tidlige arbeid ===
Kjeglesnitt ble sannsynligvis introdusert av den greske matematikeren [[Menaikhmos]] på 300-tallet f.Kr.<ref name=BOYER1/>  Ingen arbeid etter Menaikhmos er bevart, men noen av resultatene hans er omtalt
av andre greske matematikere.  Fra disse vet vi at Menaikhmos oppdaget kjeglesnittene i arbeid med å løse det [[Kubens fordobling|deliske problem]], knyttet til fordobling av volumet av en kube.<ref name=HEATH3/>
[[Hippokrates]] hadde vist at dette problemet er ekvivalent med å finne to størrelser <math>x</math> og <math>y</math>, slik at

:<math>a : x = x : y = y : b</math>

når <math>a</math> og <math>b</math> er to kjente størrelser.  Fra dette følger det at <math>a^3 : x^3 = a : b</math>, slik at volumet av kuben med sidelengde <math>a</math> kan dobles ved å velge 
<math>b = 2a</math> og så bestemme <math>x</math>.  Det var på denne formen Menaikhmos prøvde å løse problemet. Grekerne hadde imidlertid ikke algebra, men uttrykte forholdene geometrisk. 
Med dagens algebra ser en umiddelbart at problemet kan løses ved å finne verdien av <math>x</math> som gir skjæring mellom to parabler <math>ay = x^2</math> og <math>y^2 = bx</math>, alternativt
mellom en av parablene og hyperbelen <math>xy = ab</math>.  

Etter omtalen fant Menaikhmos disse kurvene som snitt mellom en kjegle og et plan.  Selv om parabelen og hyperbelen var av primær interesse, har han også oppdaget at ellipsen kunne genereres på denne måten.
Det er ikke kjent hva som motiverte Menaikhmos til å studere kjeglen.  I tidlig gresk matematikk var en kjegle alltid rett, med en sirkulær grunnflate, dannet ved å rotere en [[rettvinklet trekant]] omkring den 
ene kateten. Basert på toppvinkelen kunne kjegler karakteriseres som ''spiss'', ''rett'' eller ''stump''.  De tidlige arbeidene brukte ikke navn som hyperbel, parabel og ellipse, men beskrev kurvene
som «snitt gjennom en spiss/rett/stump kjegle». Navnene viser at en har definert kjeglesnittene ved å snitte kjeglen med et plan som står [[normal (geometri)|normalt]] på hypotenusen i den roterte trekanten,
det vil si normalt på en ''generatrise'' i kjegleflaten.  

Ifølge [[Pappos fra Alexandria|Pappos]] skal [[Aristaios den eldre]] omkring 350 f.Kr. ha laget «fem bøker om romlige geometriske steder, knyttet til kjeglesnitt». 
Pappos omtaler også «kjeglesnittene til Aristaios den eldre».<ref name=HEATH1/>  Et [[geometrisk sted]] ble i gresk matematikk omtalt som «romlig» dersom en trengte et romlig objekt for å definere
dette, og i praksis var i senere gresk matematikk et romlig geometrisk sted det samme som et kjeglesnitt.  I motsetning til dette ble linjer og sirkler kalt «plane geometriske steder». 
Thomas Heath argumenterer for at Aristaios må ha kjent til definisjonen av et kjeglesnitt basert på et brennpunkt og en styrelinje.<ref name=HEATH2/>
 
Også [[Evklid]] (født ca 300 f.Kr.) skal ha skrevet fire bøker om kjeglesnitt, men ingenting av dette er bevart.  Det er sannsynlig at Aristaios verk om kjeglesnittene var eldre enn Evklids boks om samme emne og 
at Evklid har basert sin bok på resultater fra Aristaios.<ref name=HEATH1/>  Evklid sitt berømte verk [[Euklids Elementer|Elementer]] inneholder materiale om sirkelen, men ikke om kjeglesnitt.  
I verket ''Phenomena'' viser Evklid at han er kjent med at en ellipse kan dannes når et plan skjærer en kjegle eller en sylinder skrått.  

Flere at verkene til [[Arkimedes]] (født ca 287 f.Kr.) behandler kjeglesnitt, og han viser at han må ha kjent til resultatene til Menaikhmos og Euklid.
Ved å bruke [[ekshausjonsbevis]] kunne Arkimedes beregne arealet under et segment av en parabel, og også volumet under
det tilsvarende rotasjonslegemet.  Arkimedes fant også uttrykk for arealet av en ellipse.  Tittelen på verket ''Kvadrering av parabelen'' kan være gitt i ettertid, og det er usikkert om Arkimedes
selv brukte navnet «parabel».

=== Apollonios fra Perge ===
[[File:Conica of Apollonius of Perga fol. 6b-7a DETAIL.jpg|thumbnail|right|Utsnitt av en arabisk oversettelse fra 800-tallet av  Apollonios' verk om kjeglesnitt.]]
Navnene hyperbel, parabel og ellipse er først kjent fra det viktige verket ''Kjeglesnitt'', skrevet av [[Apollonios fra Perge|Apollonios]] på 200-tallet f.Kr.  I dette samler han og videreutvikler
tidligere kunnskap om kjeglesnittene.  Sammen med ''Elementer'' av Evklid er dette kanskje det viktigste vitenskapelig arbeidet fra [[antikkens Hellas|antikken]], ofte studert og beundret av 
senere matematikere.  Apollonios viste at alle kjeglesnittene kan dannes ved å snitte en og samme kjegle med et plan i forskjellige vinkler relativt til kjegleaksen.  Kjeglen kan også være ''skrå''.
I tillegg utvidet Apollonios definisjonen av en kjegle til å omfatte to ''kapper'', det vil si to deler med et felles toppunkt.  På den måten kan en få dannet to sammenhørende hyperbel- og parabelgrener 
fra ett og samme snitt.  

I studiet av kvadratiske ligninger hadde [[pytagoreerne]] innført begrepene hyperbel, parabel og ellipse for å karakterisere arealet av et rektangel sammenlignet med et kvadrat.  
Et tilfelle der arealene var like ble kalt «parabel» (para = nær opp til, ballein = å kaste), et tilfelle der rektangelet var mindre enn kvadratet ble omtalt som «ellipse» (en =i, leipein=å utelate), 
mens det siste alternativet ble kalt «hyperbel» (hyper=over, ballein = å kaste).  Ligningen for en parabel <math>y^2 = lx</math> kan tolkes som at arealet av et rektangel med sidekant <math>y</math>
har samme areal som et rektangel med sidekanter <math>x</math> og <math>l</math>.  I en ellipse er produktet <math>lx</math> mindre enn kvadratet <math>y^2</math> og i en hyperbel større.  
I geometriske betraktninger var størrelsen <math>l</math> så viktig at den ble gitt et eget navn, på latin [[semi latus rectum|latus rectum]] («rett korde»).

''Kjeglesnitt'' inneholder syv kjente og bevarte bøker, de fire første fra gresk og de tre siste fra arabisk.<ref name=HEATH2/> En vet også at et åttende bind har eksistert, men dette har gått tapt. 
De tre første bindene er antatt å være oppsummering og presentasjon av resultatene fra Menaikhmos og Evklid, men også med egne bidrag fra Apollonios.  

Litt overraskende omtaler Apollonius ikke kjeglesnitt som det geometriske sted for et punkt som har en avstand til et gitt punkt proporsjonal med avstanden og til en gitt linje.  Denne egenskapene
ble først beskrevet av den greske matematikeren [[Pappos]] som arbeidet hundre år senere i [[Alexandria]].<ref name=BOYER2/>  
Pappos brukte kjeglesnitt til å løse problemet med [[vinkelens tredeling]], et klassisk problem i gresk matematikk. 

===Arven etter Apollonius ===
''Kjeglesnitt'' av Apollonios ble stående som det autoritative verket om emnet. I ettertiden ble det ble skrevet flere kommentarer til verket og det ble hyppig referert,
uten at det ble tilført vesentlig nytt.  Et viktig verk ble likevel ''Om brennende speil'', skrevet av [[Anthemios fra Tralles]] (født ca 474).  Tralles var det greske navnet på den tyrkiske byen [[Aydın]]. 
I dette arbeidet beskriver Anthemios hvordan kjeglesnitt kan brukes til å samle solstråler i et fast punkt, også når solen flytter seg på himmelen.<ref name=HEATH4/> 

[[File:Gravure originale du compas parfait par Abū Sahl al-Qūhī.jpg|thumb|left|al-Kuhis instrument for å tegne kjeglesnitt]]
Da interessen for matematikk gradvis forsvant i det antikke Hellas, ble mye av kunnskapen tatt vare på og videreutviklet i Midtøsten.  Apollonius ''Kjeglesnitt'' ble oversatt til arabisk av
[[Thābit ibn Qurra]], født 826.<ref name=BOYER3/>  Den arabiske astronomen [[al-Haitham|Ibn al-Haitham]] (født 965) var en pioner i [[optikk]] og fortsatte arbeidet med koniske speil.  
Han baserte seg tungt på Apollonius og etterlot seg en hånskrevet kopi av ''Kjeglesnitt''.<ref name=HAITHAM/>

Et instrument for å tegne kjeglesnitt ble beskrevet i 1000 e.Kr. av den muslimske matematikeren [[Al-Kuhi]].  
Muslimske matematikere var opptatt av algebraiske ligninger, og perseren [[Omar Khayyám]] (født 1048) oppdaget at løsningen av visse kubiske ligninger kunne finnes som skjæringspunkt mellom to kjeglesnitt:<ref name=BOYER3/>
Gitt ligningen 

:<math>x^3 + ax^2 + bx + c = 0</math>

Ved å substituere <math>ly = x^2</math>, så kan denne ligningen skrives som 

:<math>lxy + aly + bx + c = 0</math>

Den første ligningen er en parabel og den siste en hyperbel, og løsningen av tredjegradsligningen er gitt ved skjæringen mellom disse. Khayyám kunne ikke håndtere negative koeffisienter, og problemet ble 
delt opp i en rekke delproblem, avhengig av verdiene til koeffisientene ''a'', ''b'' og ''c''.  

=== Kjeglesnitt i tidlig europeisk matematikk ===
Apollonios ''Kjeglesnitt'' var lenge lite kjent i Europa, men en oversetting til latin av de fire første bøkene ble gitt ut i Venezia i 1537. Det tok også lang tid før arbeidet til Pappos ble gjenoppdaget.
[[Johannes Werner]] (1468-1522) kjente antageleig ikke til Apollonius' arbeid da han i 1522 i Nürnberg fikk trykket 22 bøker med tittel ''Elementer av kjeglesnitt''.  Bøkene inneholder lite nytt ut over
det Apollonius hadde vært i stand til å finne.<ref name=BOYER4/>  Imidlertid vekket bøkene opp igjen interessen for kjeglesnitt og stimulere interessen for å rekonstruere arbeidet
til de tidlige greske matematikerne.  

Våpenkappløpet hadde ført til utvikling av kanoner som kynne skyte lenger enn synsfeltet, og dette gjorde det viktig å kunne forutsi hvor en kanonkulen ville lande.  De første tilløpene til beskrivelse brukte
trekanter og sirkler for å beskrive kulebanen.  [[Galileo Galilei]] (1564-1642) var den første til å vise at kulebanen kan beskrives med en parabel.<ref name=EUROP1/> 

Arkimedes hadde vært i stand til å finne volumet i en omdreinings[[paraboloide]], men hadde ikke vært i stand til å behandle hyperbelen tilsvarende, da dette krever [[transcendent funksjon|transcendente funksjoner]]. 
Dersom en roterer den positive grenen av hyperbelen <math>xy = k</math>, så dannes i intervallet <math>[a, \infty)</math> et romlig legeme kalt «Torricellis vinglass», «Torricellis trompet» og også «Gabriels horn».
Den italienske matematikeren [[Evangelista Torricelli]] (1608-1647) var den første som påpekte «malerparadokset»: volumet av dette rotasjonslegement er endelig, mens arealet er uendelig.<ref name=EUROP2/>  

=== Kjeglesnitt i optikk og astronomi ===
[[Fil:kepler-first-law-norwegian.svg|thumb|right|Kepler fant at hver planet går i en ellipsebane med solen i det ene brennpunktet.]]
Optikk var vikitg både for skipsfart og for [[astronomi]].  
Interessen til [[Johannes Kepler]] (1571-1630) for kjeglesnitt var først motivert av studier i optikk og egenskaper til parabolske speil.<ref name=BOYER5/> I 1604 ga han ut ''Ad Vitellionem paralipomenaa'' («Om Vitellos optikk»), 
der han definerer kjeglesnitene ut fra ''to'' punkt, som Kepler kaller «foci» eller «brennpunkt».  Det latinske ordet «focus» betyr «ovn, ildsted», og ordet kunne betegne både et varmesenter og et samlingspunkt.<ref name=ETYM1/> 
Kepler så på kjeglesnitt som kurver i én og samme familie:  Fra degenererte kjeglesnitt i form av rette linjer gjennom et felles brennpunkt, får en dannet hyperbler når brennpunktene fjerner seg fra hverandre.  Når
ett av brennpunktene er i uendelig har man en parabel.  Dersom dette brennpunktet passerer gjennom uendelig og dukker opp på motsatt side, så dannes ellipser.  Til slutt ender en opp med en sirkel, når brennpunktene
igjen faller sammen.  Med denne behandlingen av et punkt i uendelig legger Kepler også grunnen for [[projektiv geometri]].  

Kjeglesnittene skulle også spille en viktig rolle i [[Keplers lover]] for planetenes bevegelser. Planetene beveger seg i elliptiske baner med solen i det ene brennpunktet. 
I ettertiden er det vist at ikke-periodiske kometer vil kunne følge ubundne parabel- eller hyperbelbaner.<ref name=COMET/> 

Det første teleskopet som utnyttet ''speil'' ble konstruert av [[James Gregory (matematiker)|James Gregory]] (1638-1675).  Det hadde et primært speil som var parabolsk og et sekundært som var ellipseformet. 
[[Reflektorteleskop|Speilteleskop]] basert på former av kjeglesnitt ble konstruert også av [[Isaac Newton]] (1642-1726) og av [[Guillaume Cassegrain]] (1629-1693).<ref name=EUROP3/>

===Projektiv og analytisk geometri ===
[[Fil:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|thumb|left|René Descasrtes malt av Frans Hals]]
På 1600-tallet var det stor interesse for bruk av [[sentralperspektiv]] i malerkunsten.  Sammen med ''Kjeglesnitt'' av Apollonius inspirerte dette franskmannen [[Girard Desargues]] (1591-1661) til i 1639 å gi ut
boken med den omstendelige tittelen ''Brouillon projet d'une atteinte aux évenement des recontres d'une cone avec un plan'' («Et grovt utkast på et forsøk på å behandle et møte mellom en kjegle og et plan»)<ref name=BOYER6/>.
Her legger Desargues grunnen for projektiv geometri, ved å behandle egenskaper ved kjeglesnitt som er uendret når kjeglesnittet blir projisert mot et punkt.  Når en sirkel projiseres dannes det nettopp en kjegle.

[[Blaise Pascal]] (1623-1662) var elev av Desargues og var bare 16 år gammel da han ga ut ''Essay pour les coniques'' («Essay om kjeglesnittene»).  Denne artikkelen var bare på én enkelt side og inneholdt det
forfatteren selv kalte ''hexagrammum mysticum'', senere kalt ''Pascals teorem''.  Det omtaler egenskaper til et [[heksagon]] innskrevet i en ellipse.  Pascal skal også ha gitt ut et senere verk om kjeglesnitt,
men dette har gått tapt.<ref name=BOYER6/>  Også en annen elev av Desargues, [[Philippe de La Hire]] (1640-1718), ga i 1685 ut et verk om kjeglesnitt. ''La Hires teorem'' omhandler tangenter til kjeglesnitt.<ref name=MORF/>
[[Charles Julien Brianchon|Charles Brianchon]] (1783-1864) ga Pascals teorem en modernisert form og beviste det som nå kalles ''Brianchons teorem'' for et heksagon omskrevet 
om en ellipse. Pascals teroem og Brianchons teorem er begge grunnleggende for studiet av kjeglesnitt i projektiv geometri og sammen et eksempel på «duale» teorem i geometri - teorem som er gyldige dersom ordene
«linje» og «punkt» bytter plass.<ref name=BOYER8/>

Arbeid med projektiv geometri ble videreført og systematisert av [[Jean-Victor Poncelet]] (1788-1867).  ''Poncelets tillukningsteorem'' omhandler et polygon som er
innskrevet i ett kjeglesnitt og omskrevet i et annet. 
 
Ved å legge grunnen for [[analytisk geometri]] gjorde [[René Descartes]] (1596-1650) og [[Pierre de Fermat]] (1601-1665) det mulig å behandle kjeglesnittene [[algebra|algebraisk]].  
For begge disse matematikerne var ''Kjeglesnitt'' av Apollonios en viktig inspirasjon.  
I bok III presenterer Apollonios kjeglesnitt
som det geometriske sted for et punkt der avstanden til tre eller fire linjer har et bestemt forhold. Med tre linjer skal produktet av avstandene til to av linjene være lik kvadratet av avstanden
til den tredje linjen.  Med fire linjer skal produktet av avstandene til to av linjene være lik produktet av avstandene til de to andre linjene.  Det var en generalisert form for dette resultatet 
Descartes brukte til å utforske bruken av koordinater, etter forslag fra [[Jacob Golius]] (1596-1667).  Fermat viste at andregradsuttrykk kunne brukes til å definere hyperbler, parabler og ellipser,
og også at transformasjoner kunne brukes til å omforme generelle andregradsuttrykk til standardformer for kjeglesnittene.  

Descartes ''La géométrie'' var ikke lett tilgjengelig i formen, og det ble gitt ut flere kommentarer til verket.  [[Johan de Witt]] (1629-1672) brukte Descartes koordinatdefinisjoner til å studere kjeglesnitt
i kommentarverket ''Elementa curvarum'', som ble utgitt omkring 1660.  Her reduserer han alle andregradsligninger i to variable til kanoniske former, ved en translasjon og rotasjon av aksene.<ref name=BOYER7/>
Han bruker også diskriminanten for å skille tilfeller der ligningen gir hyperbler, parabler og ellipser.  Betegnelsen «direktrise» kommer fra de Witt. Det latinske «directrix» betyr «hun som styrer», der 
hunkjønnsformen ble brukt fordi ordet «linje» på latin (''linea'') er hunkjønn.<ref name=ETYM2/>  Samtidig med de Witt publiserte [[John Wallis]] (1616-1703) i England et verk med omtrent tilsvarende innhold.<ref name=BOYER7/>   

[[Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano|Giulio di Fagnano]] (1682-1766) forsøkte å beregne [[buelengde]] av en ellipse, men støtte på problemer med å utføre det nødvendige integrasjonen. Integralet er 
et [[elliptisk integral]], som dermed har et opphav knyttet til kjeglesnitt. 

=== Nyere tid ===

[[Lazare Carnot]] (1753-1823) viste at kjeglesnittene kunne relaterte seg til hverandre, dersom en tillot komplekse koeffisienter i andregradsligningene.  ''[[Carnots teorem (termodynamikk)|Carnots teorem]]'' beskriver en sammenheng mellom
skjæringspunktene som kan opptre mellom en trekant og et kjeglesnitt.  

De engelske matematikerne [[James Joseph Sylvester]] (1814-1897) og [[Arthur Cayley]] (1821-1895) brukte matriser og determinanter til å studere polynomuttrykk i både to og flere variable, og 
kartla også størrelser for kjeglesnitt som er invariante under transformasjoner.  Sylvester er opphavsmannen til begrepet «diskriminant».  

Arbeid med projektiv geometri ble videreført av [[Jakob Steiner]] (1796-1863), og han innførte en alternativ metode for å definere kjeglesnitt i projektiv geometri.  
I [[enumerativ geometri]] gjelder det å telle 
antall geometriske objekter av en viss type, og dette er også utfordringen i ''Steiners problem'':  Gitt fem vilkårlige kjeglesnitt i det komplekse planet. Finn et nytt kjeglesnitt som tangerer de andre fem.  
Steiner selv ga eit feilaktig svar på problemet, som først fant sin rette løsning (3264) etter Steiners død.<ref name=BASH/>

Nullpunkt i multivariate polynomer blir i dag studert i [[algebraisk geometri]].