Redigerer Joule-ekspansjon (avsnitt)

==Termodynamikk==

Under ekspansjonen utvider gassen seg fra et opprinnelig volum ''V''<sub>1</sub>  med trykk ''P''<sub>1</sub>  til å innta et større volum ''V''<sub>2</sub>  hvor den har  trykk ''P''<sub>2</sub>. Da den ikke utfører noe arbeid på omgivelsene, er dette {{nowrap|''W&thinsp;'' {{=}} 0}}. Samtidig er den termisk isolert slik at den ikke blir tilført noen varme, det vil si {{nowrap|''Q&thinsp;'' {{=}} 0}}. Fra [[termodynamikkens første hovedsetning]] {{nowrap|&Delta;''U&thinsp;'' {{=}} ''Q&thinsp;''}} - ''W&thinsp;'' følger da at forandringen i gassens [[indre energi]] må være  {{nowrap|&Delta;''U&thinsp;'' {{=}} 0}}.

Generelt kan den indre energien betraktes som en funksjson av gassens volum og temperatur, {{nowrap|''U'' {{=}} ''U''(''V'',''T'')}}. Derfor vil en [[Differensial (matematikk)|differeniell forandring]] alltid kunne skrives som

: <math> dU = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV + \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT </math>

Når denne forandringen er null, vil derfor en variasjon i temperaturen til gassen på grunn av en forandring i dens volum kunne beregnes fra

: <math>  \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_U = - {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\over  \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V } </math>

Nevneren her kan direkte uttrykkes ved [[varmekapasitet]]en til gassen, <math> C_V = (\partial U/\partial T)_V .</math> Samtidig kan telleren finnes fra den matematiske [[Termodynamikk#Noen eksempel|sammenhengen]] 

: <math>  \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = -P + T \left({\partial P\over\partial T}\right)_V </math>

som følger fra én av [[Maxwell-relasjon|Maxwells relasjoner]].<ref name = Sears> F.W. Sears, ''An Introduction to Therrmodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1956).</ref>

Trykket i  ''n&thinsp;''  [[mol (enhet)|mol]] av en [[ideell gass]] er gitt ved [[Tilstandsligning#Den ideelle gassloven|tilstandsligningen]] <math> P = nRT/V. </math> Det betyr nå at <math> (\partial U/\partial V)_T  = 0. </math> Den indre energien til en ideell gass avhenger derfor bare av temperaturen. Når den gjennomgår en adiabatisk utvidelse, vil det dermed ikke opptre noen temperaturforandring.

===Van der Waals gass===

I motsetning til en ideell gass vil partiklene i en reell gass vekselvirke med hverandre. Deres viktigste egenskaper kan i enkleste tilnærrmelse beskrives ved [[van der Waals tilstandsligning]]

: <math> P = {nRT\over V - nb} - {an^2\over V^2} </math>

Her uttrykker konstanten ''a&thinsp;'' størrelsen på kraften mellom partiklene, mens ''b&thinsp;''  skyldes at de har en endelig størrelse.<ref name = Schroeder> D.V. Schroeder, ''An Introduction to Thermal Physics'', Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.</ref>
 
For en reell gass med denne tilstandsligningen vil derfor den indre energien variere med volumet ifølge

: <math>  \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = {an^2\over V^2} </math>

Ved en adiabatisk utvidelse fra et volum ''V''<sub>1</sub>  til ''V''<sub>2</sub>  vil dette medføre en temperaturforandring i gassen.  Dens varmekapasitet ''C<sub>V</sub>&thinsp;'' kan da ansees som konstant. En enkel integrasjon gir så

: <math> C_V (T_2 - T_1) = an^2 \left(\frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right) </math>

Da ''V''<sub>2</sub>  > ''V''<sub>1</sub>, vil  ''T''<sub>2</sub>  < ''T''<sub>1</sub> som betyr en avkjøling. 

Med verdier for parametrene ''a&thinsp;'' og ''C<sub>V</sub>&thinsp;'' til en typisk gass som CO<sub>2</sub> ved trykk 10 [[atm]] og 0&deg; C finner man at den vil kjøles ned med omtrent 3&deg; når volumet dobbles på denne måten. Grunnen til at Guy-Lussac og Joule ikke kunne observere effekten, skyldtes sannsynligvis at deres eksperiment var utformet på en slik måte at gassen kunne ta opp noe varme fra veggene i beholderen som omsluttet gassen.<ref name = Sears/>