Redigerer Induktans (avsnitt)

==Fenomener og matematisk beskrivelse==
===Selvinduktans===
[[File:Manoderecha.svg|thumb|[[Høyrehåndsregelen]] brukes for å avgjøre [[magnetfelt]]ets retning rundt en leder. Regelen sier at om tommelen peker i [[Strømretning|strømmens retning]] vil fingrene peke i magnetfeltets retning. Med strømmens retning menes den konvensjonelle strømretning, altså fra høyere (pluss) til lavere (minus) potensial, eller fra plusspolen på et batteri til minuspolen. Magnetfeltets retning er definert til å gå fra nordpol til sydpol.]]

[[Ørsteds lov]] sier at enhver elektrisk leder som fører en elektrisk strøm vil omgi seg med et magnetfelt. Enkelt sakt vil magnetfeltets flukstetthet være proporsjonalt med strømstryken i lederen. For en spole har en denne sammenhengen:

:<math> \Phi_B = \mathcal{P} Ni</math>

der <math>\Phi_B</math> er [[magnetisk fluks]], <math>\mathcal{P}</math> er [[permeans]]en til rommet rundt spolen, ''N'' er antallet vindinger i spolen og i er strømmen. Her benyttes liten bokstav for strømmen for å indikere at den kan være varierende med tiden. Permeansen er en størrelse som både er avhengig av de fysiske dimensjoner av spolen og [[Permeabilitet (fysikk)|permeabiliteten]]. Denne er avhengig av stoffet i spolen, og for luft og de aller fleste stoffer vil det være et lineært forhold mellom fluks og strøm. Derimot for jern, nikkel og kobolt vil permeabiliteten være avhengig av fluksen, med andre orde er det ikke en lineær sammenheng.<ref>[[#EC|James W. Nilsson: ''Electric Circuits'' side 448.]]</ref>

Om strømmen i en leder endrer størrelse vil magnetfeltet endres. Når strømmen øker, minker eller skifter retning, vil magnetfeltet gjøre det samme. Når et magnetfelt endrer styrke blir det i henholdt til [[Faradays induksjonslov]] indusert en spenning.  Ved en slik induksjon kalles denne er  elektromotorisk spenning (EMS). I en strømførende leder vil det fra før være et spenningsfall på grunn av motstanden som er gitt av [[Ohms lov]], men om strømmen endres vil det altså oppstå en spenning i tillegg til denne. Siden denne oppstår inne i lederen, kalles den selvinduksjon.

Den selvinduserte spenningen (EMS) vil i henhold til Lenz' lov ha en retning slik at den motvirker sin årsak, altså endring av strømmen i lederen. Om strømmen i lederen øker vil det oppstå en økt magnetisk fluks som induserer en EMS som driver en strøm i motsatt retning av den opprinnelige strømmen. Motsatt vil det om strømmen reduseres bli en reduksjon av magnetfeltet, dette fører til induksjon av en EMS som har en retning slik at den induserte strømmen forsøker å forhindre den opprinnelige strømreduksjonen. Induksjon er altså et fenomen som i sin natur forsøker å opprettholde [[status quo]].

[[File:Solenoid-1 (vertical).png|thumb|150px|En luftfylt spole eller solenoide.]]

Alle elektriske ledere har induktans, men en spole forsterker induktansen betraktelig.<ref>[[#YL|Young og Freedman: ''University physics'' side 1034.]]</ref> En spole er en solenoide der en elektrisk leder er viklet opp slik at den får form av en sylinder. Ofte kan det være mange lag med vindinger, i motsetning til spolen på bildet som bare har ett lag. 

Har spolen ''N'' vindinger som hver omslutter en [[magnetisk fluks]] <math>\Phi_B</math>, sier [[Faradays induksjonslov]] at det induseres en elektromotorisk spenninge (EMS) i spolen med størrelse

: <math> \mathcal{E} = -N {d \Phi_B \over dt} </math>

når fluksen varierer med tiden. Det skyldes at spolen fører en strøm ''i'' = ''i''(''t'')  som varierer med tiden. Da magnetfeltet er proporsjonalt med strømmen, kan derfor den induserte spenningen i spolen skrives som

:<math>\mathcal {E} = - L{di \over dt} </math>

der ''L'' er spolens '''selvinduktans''', ofte bare omtalt som induktansen. Minustegnet har sammenheng med Lenz' lov som altså sier at den induserte spenningen vil ha en slik retning at den motvirker sin årsak. Ved sammenligning av disse to uttrykkene ser man at induktansen til spolen er gitt som

:<math> L = {N \Phi_B \over i} </math>

I [[SI-systemet]] måles den i enheter av [[henry]].<ref>{{kilde www
| url=https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf
| tittel=The International System of Units (SI)
| utgiver=Bureau International des Poids et Mesures
| dato=2006
| besøksdato=30. januar 2019
| arkiv-dato=2017-08-14
| arkiv-url=https://web.archive.org/web/20170814094625/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf
| url-status=død
}}</ref> Definisjonen av enheten forklarer fenomenet og dets konsekvens: Om det i en leder er en induktans på 1 henry, vil en endring av strømmen i den på 1 Ampere i løpet av 1 sekund føre til at det blir indusert en spenning på 1 Volt. Uttrykket over er den matematiske måten for å si nettopp dette. Om en har en spole med ukjent induktans kan en enkelt måle denne ved å la det gå en kjent strøm gjennom den. En endres strømmen med en kjent hastighet, for eksempel med 1 Amper i løpet av 1 sekund samtidig som en måler spenningen som oppstår over spolen. Ved å bruke formelen over kan en finne induktansen i henry.

===Induktans for en spole===
En spole som vist i bildet til høyre, sies å være ideell når den er mye lengre enn dens diameter. Når den fører strømmen ''i'' og har ''N'' vindinger, er magnetfeltet inni den gitt som 

: <math> B = \mu i{N\over\ell} </math>

der ''&mu;'' er [[permeabilitet (fysikk)|permeabiliteten]] til materialet i spolens indre og <math>\ell</math> er dens lengde. Fluksen gjennom en vinding er dermed &Phi;<sub>''B''</sub> = ''BA'' der ''A'' er spolens tverrsnittsareal. Ut fra definisjonen har den derfor induktansen

: <math> L = \frac{\mu N^2A}{l} </math>

som tilnærmelsesvis også kan brukes for andre spoler. Ut fra definisjonen  er alle størrelsene unntatt ''N'' i uttrykket del av permeansen til spolen. Som en ser skal antallet vindinger kvadreres i formelen, dermed er det ikke mange vindinger som skal til før induktansen økes betraktelig. 

I litteraturen er det vanlig å analysere spoler spesielt og betrakte disse som et selvstendig kretselement, selv om alle ledere har induktans. Årsaken er at i kretsanalyse vil spolene representere en mye større induktans enn lederne ellers i kretsen. Å ignorere ledernes induktans betyr derfor lite.

===Energi i en spole===
Det magnetiske feltet i en spole inneholder en viss energi ''U''. Si at en ideell spole, altså en spole uten motstand, fra før ikke leder strøm og at en vil finne energien når strømmen øker fra null til en endelig verdi ''I''. I en hver elektrisk krets er effekt gitt av produktet av strøm og spenning, for en spole med terminaler ''a'' og ''b'' får en da den enkle sammenhengen ''P = V<sub>ab</sub>i''. På et gitt tidspunkt når strømmen stiger fra null blir da energien lagret i magnetfeltet:

:<math>P = V_{ab} i = Li{di \over dt}</math>

Energien ''dU'' som er lagret i et lite tidsintervall ''dt'', er ''dU = Pdt'' slik at uttrykket over kan endres til

:<math>d U = Li di </math>

Dermed fås uttrykket for energien lagret i en spoles magnetfelt når den strømmen gjennom den øker fra ''i'' = 0 til ''i = I'',

:<math> U = L \int\limits_{0}^{I}i di = {1 \over 2} LI^2 </math>

Slik denne formelen er utledet, ser man at den er gyldig for alle spoler.  For en ideell spole kan man sette inn uttrykket for induktansen ''L''. Det gir

: <math> U = {1\over 2\mu}B^2 A\ell </math>

når man samtidig benytter resultatet for ''B''-feltet uttrykt ved strømmen ''I''.  Denne energien er lagret i magnetfeltet. Nå er  <math>A\ell </math> lik med volumet til spolen. Det betyr at energien per volumenhet er

: <math> u_B =  {1\over 2\mu}B^2 = {1\over 2}BH  </math>

Dette er den magnetiske feltenergitettheten. Resultatet er generelt gyldig og ikke avhengig av denne spesielle utledningen basert på strømmen gjennom en spole. Denne feltenergien opptrer i mange sammenhenger og er en direkte konsekvens av [[Elektromagnetisk felt#Poyntings teorem|Poyntings teorem]] som igjen følger fra [[Maxwells ligninger]].

Når strømmen har nådd sin endelige verdi ''I'', blir derivatet ''di/dt = 0'' og det blir ikke lagret mer energi i spolen. Om strømmen så reduseres blir energien i magnetfeltet gitt tilbake til den eksterne kretsen. Dette er en viktig egenskap som spoler i en elektrisk krets har, at de tar opp energi, men gir denne tilbake straks strømmen reduseres. Ved null strøm er det heller ingen lagret energi i en spole. Dette i kontrast til en motstand som utvikler energi og gir denne til sine omgivelser, altså konverterer elektrisk energi til varmeenergi. 

En [[Kondensator (elektrisk)|kondensator]] er et annet kretselement som oppfører seg på lignende måte ved at energi blir lagret, men da som et elektrisk felt. Energien i en kondensator blir derimot ikke frigjort om den eksterne kretsen plutselig brytes, energien ligger fortsatt i den. I elektriske kretser kan spoler og kondensatorer utveksle energi, men uten at denne blir avgitt til omgivelsene.

===Gjensidig induktans===
[[Fil:Faraday emf experiment.svg|thumb|Diagram som viser Faradays jernring for induksjon.  Endring av den magnetiske fluks i den venstre spolen induserer en spenning i den høyre spiralen.]]

Ikke bare vil induktans oppstå i lederen selv, men også om to eller flere ledere er i nærheten av hverandre. Om en ser på tilfellet med to spoler viklet rundt en jernring slik som figuren til høyre viser, kan denne brukes for å illustrere fenomenet gjensidig induksjon. Om det går en strøm i spolen til venstre når batteriet kobles til med bryteren vil det oppstå en magnetfelt fluks rundt den. En stor del av denne fluksen vil gå gjennom jernringen, dermed vil også spolen til høyre gjennomløpes av mye av den samme fluksen. Fluksen som spolen til høyre gjennomløpes av vil plutselig øke fra null når bryteren legges inn. Som i tilfellet med selvinduksjon vil det også oppstå en indusert EMS i spolen til høyre i henholdt til Faradays lov. Denne EMS blir målt som en spenningen i galvanometret som er tilknyttet. På grunn av at galvanometret har en meget stor motstand, i prinsippet uendelig stor, vil det gå en forsvinnende liten strøm i spolen til høyre.

Når bryteren har ligget inne en kort stund vil magnetfeltet bli stasjonært, dermed induseres ikke det noen strøm. Derimot vil det oppstå et avtagende magnetfelt når kontakten bryter kretsen, dette induserer igjen en EMS i den venstre spolen som gir et utslag på galvanometret. Denne gangen vil spenningen ha motsatt retning.

[[Fil:General linear transformer.png|thumb|To magnetisk koblede kretser, der spole 1 er til venstre og spole 2 til høyre. M er gjensidig induktans mellom de to spolene. Om en kaller dette for en [[transformator]] er den en såkalt lineær transformator, noe som betyr at M er like stor for begge spolene. Dette betinger at det ikke er ferromagnetisk (for eksempel jern) mellom dem.]]

Tegningen til venstre viser to magnetisk koblede kretser med symboler som er i vanlig bruk. Her er spolen til venstre og tilhørende størrelser betegnet med 1, mens den til høyre betegnes 2. I denne tegningen kan det også gå en strøm i spole 2. En strøm som varierer med tiden i spole 1 kalles ''i<sub>1</sub>'' og magnetisk fluks som denne strømmen forårsaker i spole 2 kalles ''Φ<sub>21</sub>''. (Altså betyr notasjonen: «Magnetisk fluks i spole 2 forårsaket av strøm i spole 1»). Om det går en tidsvarierende strøm i spole 1 vil det induseres en EMS i spole 2 gitt av:

:<math>\mathcal E_2 = - N_2{d \Phi_{21} \over dt} </math>

der <math>\mathcal E_2</math> er den indusert EMS i spole 2 og ''N<sub>2</sub>'' er antallet vindinger i spole 2. Minustegnet har igjen sammenheng med Lenz' lov. Den gjensidige induktansen kalt ''M'' kan skrives slik:

:<math>N_2 \Phi_{21} = Mi_1 </math>

som sier at fluksen gjennom viklingene i spole 2 er lik strømmen i spole 1 multiplisert med ''M''. En kan se på denne induktansen som en koblingsfaktor (eller en proporsjonalitetskonstant) mellom spole 1 og 2. På samme måte som i avsnittet om selvinduktans omformes uttrykkene over med hensyn på den deriverte av strømmen og fluksen med hensyn på tiden:

:<math>N {d \Phi_{21} \over dt} = M{di_1 \over dt} </math>

Leddet til høyre gjenkjennes som Faradays lov, dermed kan en sette:

:<math>\mathcal E_2 = - M{di_1 \over dt} </math>

som sier at den induserte EMS i spole 2 er direkte proporsjonal med endringshastigheten av strømmen i spole 1 og med størrelsen av gjensidig induktans. ''M'' er en konstant som bare er avhengig av to forhold, nemlig geometriske forhold til spolene og materialet mellom dem. Altså det som ovenfor ble kalt for permeans. Her vil geometriske forhold ikke bare bety størrelse, form, antall vindinger, men også orienteringen mellom de to spolene, avstanden mellom dem og materialet mellom dem. For å få ekstra god magnetisk kobling mellom spolene brukes en jernkjerne.

Størrelsen gjensidig induktans ''M'' gjelder mellom begge spolene, den er dermed like stor for koblinger mellom magnetisk fluks i den ene spolen og strøm i den andre. Imidlertid gjelder dette bare for såkalte lineære koblede magnetiske kretser, altså spoler uten ferromagnetisk materiale mellom.<ref>[[#EC|James W. Nilsson: ''Electric Circuits'' side 451.]]</ref> Dermed kan en sette

:<math>\mathcal E_2 = - M{di_1 \over dt} {og} \mathcal E_1 = - M{di_2 \over dt}</math>

der den gjensidige induktansen er gitt av:

:<math> M = {N_2 \Phi_{21}\over i_1} = {N_1 \Phi_{12}\over i_2}</math>

I forbindelse med magnetisk koblede kretser er det brukt betegnelsen  ''N<sub>1</sub>:N<sub>2</sub>'' for å vise ''vindingsforholdet''. Vindingsforholdet eller omsetningen sier noe om hvilke strømmer og spenninger som kan oppstå. Gjensidig induktans har også denne sammenhengen uttrykt med parametrene i tegningen:

:<math>M = N_1N_2 \mathcal{P} </math>

med de samme definisjoner for uttrykkene som brukt tidligere. Det er vanlig å introdusere den såkalte ''koblingsfaktoren'' for to magnetisk koblede kretser. Dermed kan den gjensidige impedansen uttrykkes slik:

[[File:Flux in two magneticaly coupled coils.png|thumb|250px|Fluks i to magentisk koblede spoler der ''Φ<sub>21</sub>'' forbinder begge spolene, mens ''Φ<sub>11</sub>'' bare tilhører spole 1. I dette tilfellet går det strøm bare i spole 1, men om spole 2 også ble tilkoblet en ytre krets slik at det gikk strøm i denne også ville det oppstått nye flukslinjer.]]

:<math>M = k \sqrt{L_1 L_2} </math>

der ''L<sub>1</sub>'' og ''L<sub>2</sub>'' er induktansen (selvinduktansen) til henholdsvis spole 1 og 2 og ''k'' er koblingsfaktoren. Disse induktansene er assosiert med magnetisk fluks som bare går gjennom henholdsvis spole 1 og 2, se tegningen til venstre. For øvrig er ''k'' et tall mellom 0 og 1. Dermed sier ligningen at den gjensidige induktansen mellom to magnetiske koblede kretser aldri kan bli større enn kvadratroten av produktet til selvinduktansene til kretsene. Det er nemlig ikke alle flukslinjer som gjennomløper begge spolene, og i tegningen til venstre er dette illustrert med en magnetisk koblet krets som er lineær altså uten ferromagnetisk materiale mellom spolene. Her går det en strøm ''I<sub>1</sub>'' i spolen 1 som setter opp en magnetisk fluks ''Φ<sub>11</sub>'' som bare går gjennom spolen til venstre og en fluks ''Φ<sub>21</sub>'' forårsaket av strømmen i spole 1 som går gjennom spole 2. ''Φ<sub>11</sub>'' kalles ofte for ''lekkfluks'' eller ''lekkfelter''. Den totale fluksen som går gjennom spole 1 er gitt av ''Φ<sub>1</sub> = Φ<sub>11</sub> +Φ<sub>21</sub>''. Induktansen ''L<sub>1</sub>'' er assosiert med ''Φ<sub>11</sub>'' mens ''M'' er assosiert med ''Φ<sub>21</sub>''. For at det skal bli indusert en spenning i spolene må strømmen variere, men fluksen og forholdene mellom dem vil være som forklart her også om strømmen er konstant.

===Energi i magnetisk kolede kretser===
For å utlede sammenhengen for lagret energi i to sammenkoblede spoler betraktes figuren over der det i utgangspunktet forutsettes at det ikke går noen strøm i noen av spolene. Det er heller ingen lagret energi i spolene. Så lar en strømmen ''i<sub>1</sub>'' i spole 1 øke fra null til en gitt verdi ''I<sub>1</sub>''. Strømmen ''i<sub>2</sub>'' i spol 2 er null, og effekten som strømmen gir inn i spolene er gitt av ''u<sub>1</sub>i<sub>1</sub>'', og den lagrede energien er:

:<math> \int \limits_{0}^{W_1} \, dw = L_1 \int \limits_{0}^{I_1}i_1 \, di_1 </math>

som gir den samme formelen som ble utledet for energi i én enkelt spole:

:<math> W_1 = {1 \over 2} L_1I_1^2</math>

Så holdes strømmen ''i<sub>1</sub>'' konstant, samtidig som strømmen i den andre spolen ''i<sub>2</sub>'' økes fra null til en konstant verdi ''I<sub>2</sub>''. Når dette skjer vil strømmen ''i<sub>2</sub>'' indusere en spenning i spole 1 gitt av ''M di/dt'', dette forårsaker at det tilføres effekt både til spole 1 og 2 som er gitt av:

:<math> P = I_2 M {di_2 \over dt} + i_2u_2</math>

Den totale energien som blir lagret inntil det øyeblikk at ''i<sub>2</sub> = I<sub>2</sub>'' kan uttrykkes med følgende integral:

:<math> \int \limits_{w_1}^{w} \, dw = M \int \limits_{0}^{I_2} I_1 \, di_2  + L_2 \int \limits_{0}^{I_2} i_2 \, di_2 </math>

som etter å utføre integrasjonene gir:

:<math> W = W_1+ I_1I_2M + {1 \over 2} L_2I_2^2 = {1 \over 2} L_1I_1^2 +{1 \over 2} L_2I_2^2 + I_1I_2M</math>

Ligningen gjelder også om det var spole 2 som ble tilført strøm først, og en viktig forutsetning er at den brukes kun for magnetisk koblede kretser der medium mellom dem er lineært. Det vil si ikke-magnetisk.<ref>[[#EC|James W. Nilsson: ''Electric Circuits'' side 460.]]</ref>