Redigerer Indreprodukt (avsnitt)

== Definisjon ==
Et indreprodukt på et vektorrom <math>V</math> er en funksjon som for ethvert par av vektorer <math>\mathbf{u}</math> og <math>\mathbf{v}</math>
definerer en skalar <math>\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle</math>, slik at funksjonen oppfyller de følgende egenskapene 
for alle vektorer <math>\mathbf{u}</math>, <math>\mathbf{v}</math> og <math>\mathbf{w}</math> i <math>V</math> og alle skalarer <math>k</math>:

* '''Kompleks-konjungert symmetri''': <math>\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=  \overline{{\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle}}</math>
* '''Additivitet''': <math>\langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle</math>
* '''Homogenitet''': <math>\langle k\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle</math>
* '''Positivitet''': <math>\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle\geq0</math>, 

og &thinsp; <math>\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle=0</math> &thinsp;
hvis og bare hvis '''u''' er [[vektorrom|nullvektoren]] '''0''' = (0,0,...,0).

Definisjonen gjelder for både [[reelt tall|reelle]] og [[komplekst tall|komplekse]] vektorrom.  I symmetriegenskapen inngår definisjonen av [[kompleks konjugasjon]].  

Merk at indreproduktet av en vektor med seg selv <math>\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle</math> alltid er reell, slik at bruken av ulikheten i positivitetsegenskapen gir mening.

Ett og samme vektorrom kan utstyres med ulike indreprodukt, og dermed definere et flere uavhengige indreproduktrom med ulik struktur.  Det Euklidske indreproduktet og det vektede Euklidske indreproduktet, omtalt i den påfølgende eksempelsamlingen, er eksempel på dette.