Redigerer Harmonisk tall (avsnitt)

==Noen egenskaper==

Fra definisjonen av de harmoniske tallene følger at de alltid vil oppfylle sammenhengen

: <math>H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} </math>

Dette er en [[rekursjon|rekursjonsrelasjon]] hvorfra man kan beregne alle sammen med utgangspunkt i ''H''<sub>1</sub> = 1. De 10 første er:

{| class="wikitable"  width="60%"
 |-
!scope="row"| ''n''
 | align="center"| 1
 | align="center"| 2
 | align="center"| 3
 | align="center"| 4
 | align="center"| 5
 | align="center"| 6
 | align="center"| 7
 | align="center"| 8
 | align="center"| 9
 | align="center"| 10
 |-
 !scope="row"| ''H<sub>n</sub>''
 | align="center" |{{math|1}}
 | align="center" | <math>\frac32</math>
 | align="center" | <math>\frac{11}{6}</math>
 | align="center" | <math>\frac{25}{12}</math>
 | align="center" | <math>\frac{137}{60}</math>
 | align="center" | <math>\frac{49}{20}</math>
 | align="center" | <math>\frac{363}{140}</math>
 | align="center" | <math>\frac{761}{280}</math>
 | align="center" | <math>\frac{7129}{2520}</math>
 | align="center" | <math>\frac{7381}{2520}</math>
 |-
|}

De er alle [[brøk]]er med [[partall]] i [[nevner]] og [[oddetall]] i [[teller]]. Størrelsen av dem øker jevnt, men svært langsomt. Det harmoniske tallet med ''n'' = 10<sup>&thinsp;6</sup>&thinsp; ledd i summen, er ikke større enn omtrent 15.

Et mer nøyaktig bilde av denne økningen får man ved å gi det harmoniske tallet ''H<sub>n</sub>&thinsp;'' et geometrisk innhold. Det er gitt ved en sum som kan betraktes som arealet til ''n'' rektangler, hver med sidekanter 1 og 1/''k''.  Når man sammenligninger dette med arealet under kurven {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''&thinsp;}} fra {{nowrap|''x'' {{=}} 1}} til {{nowrap|''x'' {{=}} ''n'' + 1}}, vil det være litt mindre enn summen over alle rektanglene som hver har en del over kurven. Derfor er 

: <math> H_n  >  \int_1^{n+1} \frac{dx}{x}  =   \ln(n + 1) </math>

slik at de harmoniske tallene øker [[logaritme|logaritmisk]] med indeksen ''n''. Mer presist viste [[Euler]] at differansen {{nowrap|''H<sub>n</sub>'' - ln&thinsp;''n''&thinsp;}} konvergerer mot en bestemt verdi ''&gamma;'' når ''n'' blir veldig stor.  Denne verdien er i ettertid blitt kalt [[Euler-Mascheronis konstant]] og er definert som

:<math>  \gamma = \lim_{n\to\infty} (H_n - \ln n) = 0.57721\,56649\cdots </math>

Euler undersøkte også hvor raskt denne konstante verdien fremkommer i  summasjonen. Han hadde samtidig utviklet en nye metode som i dag kalles [[Euler-MacLaurins formel]], for å kunne utføre slike summasjoner på en mer effektiv måte. Den gir et tilnærmet svar som kan finnes fra

: <math> H_n =  \ln n + \gamma + \frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2} +\mathcal O\!\left(\frac 1{n^{4}}\right) </math>

Ved å ta med tilstrekkelig mange ledd i denne formelen, kan man oppnå så stor nøyaktighet som ønskelig. Uansett hvilken metode som benyttes, må de oppnådde resultat alltid oppfylle [[ulikhet (matematikk)|ulikhetene]] 

: <math> {1\over 2n + 2} < H_n - \ln n - \gamma < {1\over 2n} .</math>