Redigerer Harmonisk deling (avsnitt)

==Definisjon==

Hvis et tredje punkt ''C'' plasseres mellom ''A'' og ''B'', er linjestykket ''AB'' innvendig delt av dette punktet med et [[delingsforhold]] {{nowrap|''(A,B;C) {{=}} AC/CB''}}. Det går mot null når ''C'' nærmer seg punktet ''A'', er lik 1/2 når ''C'' deler ''AB'' på midten og går mot uendelig når ''C'' nærmer seg punktet ''B''.

Tilsvarende vil et punkt ''D'' utenfor linjestykket ''AB'' sies å dele dette utvendig med et delingsforhold {{nowrap|''(A,B;D) {{=}} AD/DB''}} som da vil bli negativt. Det skyldes at i dette tilfellet vil ''DB'' være negativ når ''D'' ligger til høyre for ''B'', mens ''AD'' da er positiv. Når ''D'' ligger til venstre for ''A'', får begge linjestykkene motsatte fortegn som gir samme, negative fortegn i delingsforholdet.<ref name = STL> A. Søgaard og R. Tambs Lyche, ''Matematikk for den høgre skolen'' II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).</ref>

To punkter ''C'' og ''D'' sies å dele linjestykket ''AB'' harmonisk når delingsforholdet  {{nowrap|''(A,B;C)''}} er like stort som delingsforholdet  {{nowrap|''(A,B;D)''}}, men har motsatt fortegn. Matematisk kan dette skrives som

: <math> {AC\over CB} = -  {AD\over DB}  </math>

I [[euklidsk geometri]] gjelder da relasjonen ''AC&sdot;DB = - AD&sdot;CB'' mellom lengdene til de tilsvarende linjestykkene. Et av delingspunktene ligger mellom ''A'' og ''B'', mens det andre ligger utenfor. Det indre delingspunktet kan ikke halvere linjestykket, da det vil tilsvare at det ytre delingspunktet befinner seg uendelig langt borte.

Definisjonen  ''AC&sdot;DB = - AD&sdot;CB'' for harmonisk deling av linjestykket ''AB'' kan omskrives til den ekvivalente formen  ''CA&sdot;BD = - CB&sdot;AD''. Det viser at når punktene  ''C'' og ''D'' deler ''AB'' harmonisk, så vil også punktene ''A'' og ''B'' dele linjestykket ''CD'' harmonisk.

Ved en slik harmonisk deling ser man at [[dobbeltforhold]]et {{nowrap|''(A,B;C,D) {{=}} (A,B;C)/(A,B;D)''&thinsp;}} tar den spesielle verdien -''1''. Dette forholdet er invariant under [[projektive transformasjoner]] og spiller en sentral rolle i [[projektiv geometri]].<ref name = Faulkner> T.E. Faulkner, ''Projective Geometry'', Dover Publications, New York (2006). ISBN 0-486-45326-X.</ref>

===Harmonisk middelverdi===

Skriver man betingelsen for harmonisk deling som ''BC/AC = - BD/AD'', kan den lett omformes til 1/''AB'' - 1/''AC'' = 1/''AD'' - 1/''AB''. Det gir relasjonen

: <math> {2\over AB} = {1\over AC} + {1\over AD}   </math>

som noen ganger blir tilegnet den franske filsosof og naturviter [[Descartes]]. Den sier at lengden til linjestykket ''AB'' er den [[harmonisk gjennomsnitt|harmoniske middelverdien]] av lengdene ''AC'' og ''AD'' og har gitt opphav til navnet ''harmonisk deling''.

===Affin geometri===

I [[euklidsk geometri]] er lengden av linjestykket ''AB'' entydig gitt ved de [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinatene]] til punktene ''A'' og ''B'' og kan benyttes til beregning av harmonisk deling. Men dette kan generaliseres til [[affin geometri]] hvor slike lengder i alminnelighet ikke kan tilordnes vilkårlige linjestykker. Men de relative forholdene {{nowrap|''AC/CB {{=}} - AD/DB&thinsp;''}} mellom linjestykkene som inngår i definisjonen av harmonisk deling, er derimot veldefinerte da linjestykkene ligger langs samme [[linje]]. 

Alle punkt ''T'' på linjen gjennom ''A'' og ''B'' kan da angis ved en parameter ''t&thinsp;'' som {{nowrap|''T'' {{=}} (1 - ''t'')''A'' + ''tB''}}. For punktet ''A'' er {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}, mens for punktet ''B'' er {{nowrap|''t'' {{=}} 1}}. For delingspunktet ''C'' er parameteren {{nowrap|''t'' {{=}} ''c'' < 1}}, mens punktet ''D'' har en parameter {{nowrap|''t'' {{=}} ''d'' > 1}}. Linjestykket ''AC'' tilsvarer dermed vektoren  {{nowrap|''C - A'' {{=}} ''c''(''B - A'')}},  linjestykket  ''CB'' tilsvarer  vektoren  {{nowrap|''B - C'' {{=}} (1 - ''c'')(''B - A'')}} og likedan for ''AD'' og ''DB''. Betingelsen {{nowrap|''AC''/''CB'' {{=}} - ''AD''/''DB&thinsp;''}} for harmonisk deling tar da formen

: <math> {c\over 1 - c} = - {d\over 1 - d} </math>

hvor vektoren ''B - A'' blir en felles faktor som faller ut i [[delingsforhold]]et. Dette kan forenkles til betingelsen {{nowrap|''c'' + ''d'' {{=}} 2''cd''}} som også gjelder i [[euklidsk geometri]]. Da angir ''c'' avstanden til ''C&thinsp;'' fra ''A'' og ''d'' avstanden til ''D'' fra ''A'' i enheter hvor avstanden mellom ''A'' og ''B'' er lik 1. Skriver man dette som 2 = 1/''c'' + 1/''d'', ser man at det ikke er noe annet enn et nytt uttrykk for at ''AB'' er det [[harmonisk gjennomsnitt|harmoniske gjennomsnittet]] av ''AC'' og ''AD''.

Dette resultatet blir mer interessant ved å innføre midtpunktet ''M'' mellom punktene ''A'' og ''B''. I disse enhetene er da {{nowrap|''MC'' {{=}} ''c'' -1/2}} og {{nowrap|''MD'' {{=}} ''d'' - 1/2}} hvor den halve avstanden mellom ''A'' og ''B'' er ''AM'' = ''MB'' = 1/2. Da kan resultatet skrives på formen {{nowrap|''MA&sdot;MB {{=}} - MC&sdot;MD''}} som går tilbake til [[Newton]].

I den mer generelle, [[projektiv geometri]] er denne beskrivelsen av punkter på en linje ikke gyldig. Da må harmonisk deling defineres på en annen måte. Vanligvis gjøres det ved å forlange at [[dobbeltforhold]]et  tar verdien {{nowrap|(''A,B;C,D'') {{=}} -1}} for fire punkter ''A'', ''B'', ''C'' og ''D'' på en linje. Dette forholdet er alltid entydig bestemt.<ref name = Fenn> R. Fenn, ''Geometry'', Springer Undergraduate Mathematics Series, London (2003). ISBN 1-85233-058-9.</ref>