Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Hamiltons prinsipp==

[[William Rowan Hamilton|Hamilton]] viste at de mekaniske lovene kunne utledes fra et nytt [[virkningsprinsipp]]. For et system av partikler beskrevet ved de ''N'' generaliserte koordinatene  {{nowrap|''q'' {{=}} ''(q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, ... , q<sub>N</sub>'')&thinsp;}} som  varierer med tiden ''t'',  er dette basert på  [[Lagrangemekanikk|Lagrange-funksjonen]]

: <math> L = L(q,\dot{q},t) </math>

for systemet. Koordinaten ''q'' angir en gitt posisjon av systemet i et ''N''-dimensjonalt ''konfigurasjonsrom''. Her er den tidsderiverte <math> \dot{q}_n </math> = ''dq<sub>n</sub>&thinsp;/dt'' den ''n''-te komponent av hastigheten til en partikkel. Lagrange-funksjonen kan vanligvis finnes ut fra kunnskap om systemets kinetiske og potensielle energier. For en bevegelse som starter i en gitt posisjon ved tiden ''t = 0'' og fortsetter frem til en annen, gitt posisjon ved et senere tidspunkt ''t'', definerte Hamilton integralet

: <math> S = \int_0^t\!dt  L(q,\dot{q},t) </math>

som systemets '''prinsipale funksjon'''. I dag kaller man det i stedet for Hamiltons virkning. Han viste at et vilkårlig system vil alltid bevege seg slik at denne virkningen antar en ekstremal verdi som ofte er et minimum. Dette er [[Hamiltons virkningsprinsipp]].

Bevegelsesligningene kan nå utledes ved vanlig [[variasjonsregning]]. Under en liten variasjonen ''q(t) &rarr; q(t) + &delta;q(t)'' av banen vil da virkningen forandres med

: <math> \delta S =  \int_0^t\! dt \left[ {\partial L\over\partial q}  - {d\over dt} {\partial L\over\partial \dot{q}} \right]\cdot \delta q  
                             + \left|{\partial L\over\partial \dot{q}}\cdot\delta q\right|_0^t </math>

etter å ha foretatt en partiell integrasjon. Her er &sdot; - symbolet innført som en mer kompakt notasjon for [[Einsteins summekonvensjon]] å summere over komponenter med samme indeks. Siden endepunktene til alle varierte baner er fikserte, vil her ''&delta;q = 0'' slik at randleddet  er null. I det gjenstående integralet er derimot variasjonen ''&delta;q'' ikke null og derfor må inneholdet av parentesen i integranden være null. Det gir

: <math> {\partial L\over\partial q_n}  - {d\over dt} {\partial L\over\partial \dot{q}_n}  = 0 </math>

som er en [[variasjonsregning|Euler-Lagrange-ligning]] for hver variable. Tilsammen utgjør de ''N'' andreordens [[differensialligning]]er som representerer en generalisering av [[Newtons tredje lov]].