Redigerer Funksjon (matematikk) (avsnitt)

== Historie ==
[[Fil:Gottfried Wilhelm Leibniz.jpg|thumb|right|Gottfried Leibniz]]
Relasjoner mellom to typer størrelser dukker tidlig opp i matematisk historie, selv om det skulle gå lang tid før slike relasjoner ble eksplisitt omtalt som en «regel» eller enda mer presist, som en «funksjon».
Telling som grunnleggende operasjon er en form for funksjon, med en relasjon mellom abstrakte tall og et sett av objekter. Fra oldtidens Mesopotamia har vi tabeller med relasjoner mellom tall og
inverser, kvadrattall og kubikktall.<ref name=BOYER1/>   Utarbeiding av forskjellige former for matematiske tabeller har vært viktig helt siden oldtiden og fram til dagens almanakker, ikke minst
motivert ut fra [[astronomi]].  De første formene for tabulering av trigonometriske relasjoner finner vi i gresk matematikk fra før Kristi fødsel.<ref name=BOYER2/>  Tabulering av matematiske
funksjoner fortsatte helt til utviklingen av datamaskiner gjorde slike tabeller overflødige, og [[Mathematical Tables Project]] ble avviklet i 1948. Dette prosjektet hadde resultert i utgivelsen
av standardverket ''Handbook of Mathematical Functions'', der siste utgave kom i 1972.<ref name=HAND/> 

En annen viktig inspirasjonskilde som sakte og gradvis ledet opp til introduksjonen av funksjoner, var studiet av [[kurve]]r, et studium som også har røtter i gresk matematikk.  Det skulle likevel gå svært lang 
tid fra gresk matematikk til de første forsøkene på en formalisering av funksjoner fant sted.  [[Nicole Oresme]] (1323?-1382) introduserte idéen om at en relasjon mellom målbare fysiske størrelser kan 
visualiseres som en plan figur, som vi i dag ville kalle grafen til en funksjon.<ref name=BOYER3/>   [[René Descartes]] (1596-1650) og [[Pierre de Fermat]] (1601-1665) la grunnlaget for [[analytisk geometri]] og 
dermed sammenhengen mellom koordinater og kurver.  Descartes påpekte at en ligning i to variable, representert ved en kurve, vil definere en relasjon mellom de to størrelsene.  Fermat ga ligninger for 
[[kjeglesnitt]]ene, og drøftet også metoder for å finne maksimum til en «kvantitet», som var ett av ordene brukt for å omtale det vi i dag vil kalle en funksjon.  

Studiet av kurver var en viktig motivasjon for differensial- og integralregning, utviklet omtrent samtidig og uavhengig av hverandre av [[Isaac Newton]] (1642-1726) og [[Gottfried Leibniz]] (1646-1716).  
Newton brukte symbolet <math>\dot{x}</math> for å betegne den deriverte av en størrelse <math>x</math>.  
Leibniz var den første til å bruke ordet «funksjon», i 1694.<ref name=PONTE/><ref name=ETYM/>  Ordet ble konstruert fra «functus», som er perfuktum partisipp av det latinske verbet «fungi», med betydning 
«å utføre». Leibniz introduserte også begrepene «variabel», «parameter» og «konstant».

En funksjon ble av Leibniz skrevet som en enkelt gresk bokstav eller ved hjelp av symbol<ref name=CAJORI2/>

: <math>
\begin{alignat}{2}
\overline{x} | \underline{1}|  \qquad &\text{Funksjon nr.1 av} \ x \\
\overline{x} | \underline{2}| \qquad &\text{Funksjon nr.2 av} \ x \\
\overline{x;y} | \underline{1}| \qquad &\text{Funksjon nr.1 av} \ x \ \text{og} \ y 
\end{alignat}
</math>

[[Leonhard Euler]] (1707-1783) var den første, i 1734, som skrev en funksjon som <math>f(x)</math>, der bruken av bokstaven <math>f</math> var inspirert av ordet funksjon.<ref name=CAJORI2/><ref name=ETYM/>. For en funksjon av to variable brukte brukte Euler senere flere ganger en notasjon med et ekstra kolon, som i <math>f:(x,t)</math>.  

[[Joseph Louis Lagrange]] (1736-1813) bidro med verket ''Theorie des fonctions analytiques'' (Paris, 1797) sterkt til å klargjøre funksjonsbegrepet og også til videre bruk av funksjonssymbolet 
<math>f(x)</math>.<ref name=CAJORI2/>  Verket introduserer også notasjonen <math>f'(x)</math> for den deriverte av funksjonen.<ref name=BOYER4/>

Differensial- og integralregningen skapte interesse både for kurver og funksjoner, ut over de tradisjonelle kjeglesnittene og de [[rasjonal funksjon|rasjonale funksjonene]].  Rasjonale funksjoner er funksjoner som kan uttrykkes 
som brøker av polynom.  Selv integralet av en enkel funksjon som <math>f(x) = 1/x</math> krever bruk av [[transcendent funksjon|transcendente funksjoner]], funksjoner som ikke kan uttrykkes ved hjelp av polynomuttrykk.  
[[Betafunksjon]]en og [[gammafunksjon]]en er to slike transcendente funksjoner, begge introdusert av Euler.  Navnene og symbolene for disse to funksjonene ble først etablert mange år senere. 
[[Niels Henrik Abel]] (1802-1829) har sammen med [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carl Gustav Jacobi]] (1804-1851) og [[Carl Friedrich Gauss]] (1777-1855) fått æren av å ha introdusert [[elliptisk funksjon|elliptiske funksjoner]], 
en generalisering av [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjoner]].<ref name=BOYER5/>

Viktig for bruken av stringens og presisjon i matematisk analyse for funksjoner var arbeidet til [[Augustin Louis Cauchy]] (1789-1857).  Cauchy er kanskje mest kjent for å etablere 
[[kompleks analyse|kompleks funksjonsteori]], det vil si studiet av funksjoner der både argument og funksjonsverdi er [[Komplekst tall|komplekse tall]]. Arbeidet til Cauchy ble videreført av blant andre [[Pierre Alphonse Laurent]] (1813-1854) og
[[Bernhard Riemann]] (1826-1866). Den førstnevnte oppdaget hvordan komplekse funksjoner kan utvikles i uendelige potensrekker, det som i dag kalles [[Laurent-rekke]]r.

I analysen til Leibniz og Newton er funksjonene reelle og kontinuerlige deriverbare størrelser. Det hadde lenge vært velkjent at slike funksjoner under nokså generelle vilkår kan utvikles i 
[[potensrekke]]r eller [[Taylorrekke]]r, og funksjoner som oppfyller slike vilkår kalles [[analytisk funksjon|analytiske]].
[[Joseph Fourier]] (1768-1830) antok at alle funksjoner også kan utvikles i rekker av trigonometriske funksjoner, det vi i dag kaller [[Fourieranalyse|fourierrekker]].  For å kunne utvikles i en fourierrekke trenger 
funksjonen ikke å være kontinuerlig, den kan ha periodiske [[Diskontinuerlig|diskontinuiteter]].  I første halvdel av det attende århundre begynte matematikere å trekke fram flere funksjoner som brøt med den
tradisjonelle forestillingen til Leibniz og Newton:  [[Bernhard Bolzano]] (1781-1848) publiserte i 1834 et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke er deriverbar i noe punkt.<ref name=BOYER6/>  
[[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Peter Gustav Dirichlet]] (1805-1859) ga et eksempel på en funksjon som ikke er kontinuerlig i noe punkt:  Funksjonen har verdien <math>c >0</math> for rasjonale argument og verdien
<math>(-c)</math> for irrasjonale argument.  Denne funksjonen kalles nå ''Dirichlets funksjon''.  
Bernhard Riemann ga et eksempel på en funksjon <math>f</math> som er diskontinuerlig i uendelig mange punkt, men likevel integrerbar.  

Erkjennelsen av det eksisterte «patologiske» funksjoner førte til en løsrivelse av begrepet «funksjon» fra det geometriske begrepet «kurve».
I 1837 definerte Dirichlet en funksjon som «en relasjon mellom to variable <math>x</math> og 
<math>y</math>, slik at til en hver numerisk verdi tilordnet <math>x</math>, så er det en regel som også tilordner en entydig verdi av <math>y</math>».  Denne 
definisjonen nærmer seg den moderne formen.<ref name=BOYER7/>  Løsrivelsen fra geometri var ledd i et større program for å frigjøre matematisk analyse fra geometri, et program der 
[[Karl Weierstrass]] (1815-1897) var en viktig skikkelse. I dette arbeidet var sammenhengen mellom uendelige rekker og funksjoner sentralt.  

I løpet av attenhundretallet ble det gradvis innført mer stringens og presisjon i matematisk analyse og i algebra.  Samtidig skjedde det en utvikling der matematikken ble mer og mer abstrakt.
Som ledd i arbeidet med å etablere en stringent basis for algebra, påpekte [[George Peacock]] (1791-1858) i 1834 at elementene som bokstavene og symbolene refererte til, ikke trengte være ''tall''. 
Disse elementene kunne være hva som helst, så lenge de oppfylle spesifiserte matematisk krav.  Mengdelæren innført av [[Georg Cantor]] (1845-1918) ble et viktig grunnlag for abstraksjonsprosessen  
også for funksjoner, der funksjoner ikke lenger trengte være knyttet til tall. Engelske matematikere var spesielt interessert i forbindelsen mellom matematikk og logikk, [[matematisk logikk]]. 
[[Augustus De Morgan]] (1806-1871) og [[Charles S. Peirce|Charles Peirce]] (1839-1914) var begge viktige for å sette i gang et formelt studium av ''relasjoner'', basert på mengdelæren.    

I 1908 definerte [[G.H. Hardy|Godfrey Harold Hardy]] (1877-1947) en funksjon som en relasjon mellom to variabler <math>x</math> og <math>y</math>, der det «til noen verdier av <math>x</math> alltid korresponderer verdier av 
<math>y</math>».<ref name=HARDY/>  Hardy krevde ikke at funksjonen skulle være definert for alle verdier av <math>x</math> og heller ikke at funksjonen skulle forbinde en verdi 
av <math>x</math> til en enkelt, entydig verdi av <math>y</math>. Denne brede definisjonen av en funksjon omfatter flere relasjoner enn det den vanlige, samtidige matematikken betraktet.{{tr}}

[[Giuseppe Peano]] (1858-1932) introduserte i 1888 [[vektorrom]], og den aksiomatiske teorien ble i de første tiårene av 1900-tallet videreutviklet av [[David Hilbert]] (1862-1943) og [[Stefan Banach]] 
(1892-1945).<ref name=VECTOR/>  I 1908 beskrev [[Maurice René Fréchet]] (1878-1973) i doktorarbeidet sitt [[metrisk rom|metriske rom]], og han var den første som brukte betegnelsen «rom» om
abstrakte matematiske strukturer.  Både metriske rom og vektorrom har blitt fundamentalt viktige i funksjonsstudier, ved å knytte abstrakte geometriske egenskaper svarende til lengde og avstand også til funksjoner.  
En rekke spesielle [[funksjonsrom]] er senere blitt definert og studert.
Fréchet introduserte i doktorarbeidet også [[funksjonal]]er, en spesiell klasse av funksjoner som har reelle eller komplekse tall som verdiområde.<ref name=BERNK/><ref name=LIND/>

Den engelske fysikeren [[Paul Dirac]] (1902-1984) innførte funksjonen som nå kalles [[Diracs deltafunksjon]], til hjelp i kvantefysikk, et eksempel på at «patologiske» funksjoner kan være til 
nytte i beskrivelse av fysiske fenomen.  Deltafunksjonen tilhører en klasse av ''generalisert funksjoner'', også kalt [[distribusjon (matematikk)|distribusjoner]], der teorien ble utviklet av
[[Sergei Sobolev]] (1908-1989) og [[Laurent Schwartz]] (1915-2002).{{tr}}