Redigerer Fluks (avsnitt)

==Eksempel==

Massestrømmen av en [[væske]] med [[tetthet]] ''&rho;'' og [[kontinuitetsligning#Hastighetsfelt|hastighet]] '''v''' er gitt ved [[vektorfelt]]et {{nowrap|'''J''' {{=}} ''&rho;''&thinsp;'''v'''}}.  Er  {{nowrap|''d''&thinsp;'''S''' {{=}} ''dS''&thinsp;'''n'''&thinsp;}} et lite flateelement med retning '''n''' som danner vinkelen ''&theta;'' med '''J''', er det bare komponenten {{nowrap|''J''&thinsp;cos''&theta;''}} av denne som står [[vinkelrett]] på flateelementet, som vil strømme gjennom dette. Det tilsvarer fluksen {{nowrap|''d''&thinsp;&Phi; {{=}}  ''J''&thinsp;cos''&theta;dS'' {{=}} '''J'''&sdot;''d''&thinsp;'''S'''&thinsp;}} når man innfører [[skalarprodukt]]et mellom to vektorer.<ref name="Falkovich"> G. Falkovich, ''Fluid Mechanics: A Short Course for Physicists'', Cambridge University Press, New York (2011). ISBN 978-1-107-00575-4.</ref>

[[Fil:Flux diagram.png|right|thumb|240px|Slik kan fluks visualiseres. De røde pilene står for [[vektorfelt]]et som beskriver strømningen. Antallet piler som passerer gjennom en ring, er fluksen gjennom flaten som ringen omslutter.]]

Når dette flateelementet er en liten del av en større flate, er den totale fluksen gjennom flaten gitt ved [[integral (matematikk)|integralet]]

: <math> \Phi = \int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} </math>

Størrelsen til fluksen sier i dette tilfellet hvor mye masse per tidsenhet som strømmer gjennom flaten. Det kommer også frem fra dens [[måleenhet]] i [[SI-systemet]] som blir

: <math> [\Phi] = {\text{kg}\over\text{m}^3}\cdot {\text{m}\over\text{s}}\cdot\text{m}^2 = {\text{kg}\over\text{s}}</math>

Under stasjonære forhold vil like mye masse strømme inn gjennom lukket flate som ut av denne, noe som matematisk tilsvarer at

: <math> \Phi = 0 = \oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} </math>

Man tenker seg da en fast flate som delvis består av en fysisk flate som holder væsken på plass pluss tenkte deler som væsken gjennomstrømmer som sies å være åpne.  Den totale fluksen gjennom hele flaten er null og er et uttrykk for [[kontinuitetsligning]]en i [[hydrodynamikk]]. Hvis flaten inneholder to åpne deler ''S''<sub>1</sub> og ''S''<sub>2</sub> hvor strømmen har verdiene '''J'''<sub>1</sub>  og '''J'''<sub>2</sub>,  har man derfor

: <math> \rho_1\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{S}_1 +  \rho_2\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{S}_2 = 0 </math>

I det enkleste tilfelle hvor de to delflatene står vinkelrett på hastighetsfeltet '''v''' og dette er konstant over flatene, forenkles denne massebevarelsen til betingelsen ''&rho;''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub>''S''<sub>1</sub> = ''&rho;''<sub>2</sub>''v''<sub>2</sub>''S''<sub>2</sub>. Dette er det enkleste uttrykk for at fluksen inn i volumet er lik fluksen ut av det under stasjonære forhold. Vanligvis er tettheten ''&rho;'' konstant, noe som betyr at strømningshastigheten er størst gjennom den flaten som er minst.

===Elektrisk felt===

Et [[elektrisk felt]] '''E''' skapes av [[elektrisk ladning|elektriske ladninger]]. Det kan også beskrives ved [[Elektrisk felt#Elektrisk polarisasjon|forskyvningsfeltet]] '''D''' = ''&epsilon;''&thinsp;'''E''' hvor ''&epsilon;'' er [[permittivitet]]en til materialet feltene befinner seg i. Begge disse vektorfeltene kan benyttes til å definere en '''elektrisk fluks'''. Benytter man '''D'''-feltet og betrakter en flate ''S'' i dette feltet, er denne definert ved integralet

: <math> \Phi_D = \int_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} </math>

[[Fil:Surface normal.png|left|thumb|300px|Fluksen gjennom den grønne flaten er gitt ved størrelsen av fluksvektoren langs [[Flate#Normalvektor|flatenormalene]] '''n''' som her er angitt ved piler.]]
I [[SI-systemet]] måles forskyvningsfeltet '''D''' i enheter av [[Coulomb|C]]/m<sup>2</sup>, slik at den elektriske fluksen har samme [[måleenhet]] som elektrisk ladning, {{nowrap|1C {{=}} 1A&sdot;s}}. Dette kommer tydelig frem ved å betrakte en lukket flate. [[Gauss' lov]] sier da at fluksen gjennom en slik flate er den totale ladningen ''Q'' innenfor flaten. Det tilsvarer sammenhengen

: <math> \Phi_D = \oint_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = Q </math>

Ved bruk av [[divergensteoremet]] kan dette skrives som

: <math>  \oint_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} =  \int\!d^3x\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{D} = Q </math>

I denne sammenhengen omtales den lukkete flaten vanligvis som en '''Gauss-flate''' som i mange sammenhenger gjør det mulig å benytte den elektriske fluksen til å løse praktiske problem innen [[elektrostatikk]]en.<ref name = HLL/>

Da  totalladningen ''Q'' også kan skrives som et integral over det samme volumet innesluttet av ''S'' med ladningstetthet ''&rho;'' må man ha den fundamentale sammenhengen

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{D} = \rho </math>

Dette er [[Gauss' lov]] på differensiell form og omtales også som [[Maxwells ligninger|Maxwells første ligning]]. Den er gyldig også når det elektriske feltet varierer med tiden, men den tilsvarende fluksen har ikke da samme anvendbarhet.<ref name="Griffiths"> D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.</ref>

===Magnetisk felt===
[[Fil:Magnetic flux.png|thumb|right|300px|Fluksen gjennom flaten er et mål for antall [[feltlinje]]r som går gjennom den.]]
Magnetisk fluks er gitt ved det [[magnetfelt|magnetiske feltet]] '''B'''. For en flate ''S'' er den definert som

: <math> \Phi_B = \int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} </math>

slik at '''B''' også ofte kalles for '''det magnetiske fluksfeltet'''.  Mens dette feltet måles i enheter av [[Tesla]] (T), er enheten for den tilsvarende fluksen [[Weber]] (Wb) slik at 1&thinsp;T = 1&thinsp;Wb/m<sup>2</sup>.

Uttrykkes dette ved [[Magnetfelt#Vektorpotensialet|vektorpotensialet]] som '''B''' = '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A''', kan man ved hjelp av [[Stokes' teorem]] alternativt skrive fluksen som

: <math> \Phi_B = \oint_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{s} </math>

hvor ''C'' = &part;''S'' er randen til flaten ''S'' og ''d'''''s''' er et differensielt linjeelement langs denne [[kurve]]n.<ref name = Griffiths/>

I motsetning til den elektriske fluksen, er den magnetiske fluksen gjennom en lukket flate alltid null. Dette er innholdet av [[Maxwells ligninger|Maxwells andre ligning]] som derfor kan skrives som '''&nabla;'''&sdot;'''B''' = 0. Ligningen tilsvarer at det ikke finnes virkelige, [[magnetisk monopol|magnetiske ladninger]]. Da [[feltlinje]]r alltid må starte og ende på tilsvarende ladninger, betyr det at disse for '''B'''-feltet alltid må være lukkete kurver.

Denne fluksen har en sentral plass i [[elektromagnetisme|elektromagnetisk teori]] og likså for magnetfelt som varierer med tiden. Det er spesielt tydelig i [[Faradays induksjonslov]] hvor den [[derivasjon|tidsderiverte]] av fluksen gir den induserte, elektromotoriske spenningen,

:<math> \mathcal{E} = - {d\Phi_B \over dt} </math>

På differensiell form er dette [[Maxwells ligninger|Maxwells tredje ligning]] som danner grunnlaget for alle [[elektrisk motor|elektriske motorer]] og [[generator]]er.

En lukket strømsløyfe som fører en konstant strøm ''I'' og befinner seg i et ytre magnetfelt, har en [[Magnetfelt#Magnetisk energi|vekselvirkningsenergi]] som er gitt ved

: <math> V = - I\Phi_B </math>

hvor &Phi;<sub>''B''</sub>&thinsp; er den magnetiske fluksen gjennom sløyfen. Hele energien til dette systemet vil også inkludere energien til feltet.<ref> R.P. Feynman, [http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_14.html ''The Feynman Lectures on Physics''], Vol II, Caltech, Pasadena (2013).</ref> 

Hvis arealet '''S''' til sløyfen er så lite at feltet gjennom den kan anses som konstant, blir fluksen {{nowrap|&Phi;<sub>''B''</sub> {{=}} '''B'''&sdot;'''S'''}}. Men nå er {{nowrap|'''m''' {{=}} ''I''&thinsp;'''S'''}} det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]] til sløyfen som dermed kan beskrives som en [[dipol]] med energien

: <math> V = - \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} </math>

i det ytre magnetfeltet. Likevektsstillingen inntrer der denne energien er minimal som tilsvarer at  dipolen har samme retning som '''B'''-feltet og fluksen gjennom den er maksimal.

Magnetiske flukser kan ikke uten videre trenge inn i [[superleder]]e. [[Kvantemekanikk]]en sier da at denne fluksen kun kan opptre med diskrete verdier som alle er et multiplum av et mindre, fundamentalt '''flukskvantum'''. Dette fenomenet kalles [[flukskvantisering]] og er eksperimentelt påvist.<ref name="QMGriffiths"> D. J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>