Redigerer Fermi-Dirac statistikk (avsnitt)

==Degenerasjon==
[[Fil: Degenerate energy levels.svg|thumb|280px|Tre energinivå ''E<sub>r</sub>'' = (''r'' + 1) i et tenkt potensial hvor degenerasjonen av hvert nivå er ''g<sub>r</sub>'' = 2''r'' + 1.]]

[[Paulis eksklusjonsprinsipp]] sier at to fermioner ikke kan befinne seg i samme [[kvantetilstand]]. Disse er løsninger av [[Schrödinger-ligning]]en for hver enkelt partikkel. Den gir de mulige egenverdiene ''E<sub>r</sub>&thinsp;'' som energien  til hver av dem kan ha.  Hvis ligningen er uavhengig av partikkelens [[spinn]] ''s'', vil det finnes {{nowrap|''g'' {{=}} 2''s'' + 1}} kvantetilstander med denne energien tilsvarende de kvantiserte retningene til spinnet. Man sier at denne egenverdien er «degenerert» siden flere egenverdier har falt sammen til én.<ref name= Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

I  sin opprinnelig utledning av denne kvantestatistikken betraktet [[Enrico Fermi]] fermioner som befinner seg i et tredimensjonalt, [[Harmonisk oscillator|harmonisk oscillatorpotensial]]. Schrödinger-ligningen gir da [[Kvantisert harmonisk oscillator#Flere dimensjoner|egenverdier]] 

: <math> E_{n_x,n_y, n_z} = \hbar\omega(n_x + n_y + n_z + 3/2) </math>

hvor ''&omega;&thinsp;'' er [[vinkelfrekvens]]en til oscillatoren, {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''&pi;&thinsp;''}}  er  den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]] og {{nowrap|(''n<sub>x</sub>'',''n<sub>y</sub>'',''n<sub>z</sub>'')}} er [[kvantetall]] som hver kan ta verdiene 0, 1, 2 og så videre. Laveste energinivå eller «grunntilstanden» er derfor gitt som {{nowrap|(0, 0, 0)}} med energi {{nowrap|''E''<sub>0</sub> {{=}} (3/2)''ħ&omega;''.}} Første, eksiterte nivå har energien {{nowrap|''E''<sub>1</sub> {{=}} (5/2)''ħ&omega;''}}, men inneholder tre tilstander {{nowrap|(1, 0, 0)}}, {{nowrap|(0, 1, 0)}}  og {{nowrap|(0, 0, 1).}} Dets degenerasjon er derfor {{nowrap|''g''<sub>1</sub> {{=}} 3}}. Generelt kan energien til hvert energinivå skrives som {{nowrap|''E<sub>r</sub>'' {{=}} ''ħ&omega;''(''r'' + 3/2)}} med degenerasjon {{nowrap|''g<sub>r</sub>'' {{=}} (''r'' + 1)(''r'' + 2)/2}} hvor det effektive kvantetallet ''r'' = 0, 1, 2 og så videre.<ref name = Fermi> E. Fermi, ''Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico'', Rendiconti Lincei '''3''', 145-149 (1926). [https://arxiv.org/pdf/cond-mat/9912229 Engelsk PDF].</ref>

===Frie partikler===

En klassisk partikkel med masse ''m&thinsp;'' har energi ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m&thinsp;''  når den har [[bevegelsesmengde|impulsen]] ''p''. Kvantemekanisk må man da tenke seg at den beveger seg fritt innen et makroskopisk stort volum ''V'' =  ''L''<sup>3</sup>. Hvis den skal ha null sannsynlighet for å ikke kunne finnes utenfor dette, må veggene til volumet beskrives som hardt frastøtende. Det tilsvarer at den befinner seg i et uendelig dypt, tredimensjonalt [[Schrödinger-ligning#Partikkel i kassepotensial|kassepotensial]] med sidekanter ''L''. Dens kvantiserte energier blir da

:  <math> E_{n_x,n_y, n_z} = {\hbar^2\pi^2 \over 2m L^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2) </math>

hvor komponentene til vektoren '''n''' = {{nowrap|(''n<sub>x</sub>'',''n<sub>y</sub>'',''n<sub>z</sub>'')}} er de tre kvantetallene som er positive [[heltall]].<ref name = Griffiths/>

Når sidekanten ''L&thinsp;'' er stor, vil alle egenverdiene kunn angis med punkt som ligger tett på et kubisk gitter. Antall tilstander med energier mellom ''E&thinsp;'' og {{nowrap|''E&thinsp;'' + ''dE&thinsp;,''}} er da gitt av antall punkt i første kvadrant med kvantetalll mellom ''n&thinsp;'' og {{nowrap|''n&thinsp;'' + ''dn&thinsp;''}} hvor {{nowrap|''n''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} '''n'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''n'''}}. Denne degenerasjonen blir da

: <math> {1\over 8} \cdot 4\pi n^2 dn = {V\over 4\pi^2} \left({2m\over \hbar^2}\right)^{3/2} E^{1/2} dE </math>

når man benytter sammenhengen <math> E =  (\hbar^2\pi^2 /2m L^2) n^2 . </math> Dette er i overenstemmelse med <math> Vd^3p/h^3 = 4\pi V p^2 dp/(2\pi\hbar)^3 </math> som også benyttes for partikler som følger [[Maxwell-Boltzmann statistikk#Fri partikkel|Maxwell-Boltzmann statistikk]]. I tillegg kommer en multiplikativ spinn-degenerasjon {{nowrap|2''s'' + 1}} som gir en ekstra faktor 2 for [[elektron]]er og [[nukleon]]er som har {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2.}} Dette resultatet for antall mikrotilstander kan alternativt finnes ved bruk av [[Kvantisert strålingsteori#Periodiske grensebetingelser|periodiske grensebetingelser]]  for bølgefunksjonen istedenfor å anta harde vegger i et kassepotensial som gjort her.