Redigerer Eulers tall (avsnitt)

==Historie==
Det som i dag kalles Eulers tall, opptrådte indirekte første gang i arbeidet ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' hvor [[John Napier]] innførte [[logaritme]]r i 1614. Han la merke til at for alle tallpar som skilte seg med en faktor 2, var differensen mellom deres logaritmer 6 931 469. Dette er nesten nøyaktig den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmen]] {{nowrap|ln&thinsp;2 {{=}} 0,6931 472}}  multiplisert med {{nowrap|10 000 000}} da han regnet med [[heltall]] som var vanlig på den tiden.<ref name="Boyer"> C.B. Boyer, ''A History of Mathematics'', Princeton University Press, New Jersey (1968). ISBN 0-691-02391-3.</ref>

[[Fil:Hyperbola E.svg|thumb|[[Gottfried Leibniz|Leibniz]] påpekte i 1690 at det blå arealet under  [[hyperbel]]en {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''}} er 1 når lengden langs ''x''-aksen har en bestemt verdi han kalte ''b'' og som er tallet ''e''.]]
I den andre utgaven av Napiers verk som ble oversatt til engelsk av [[Edward Wright]] like før han døde i 1615, finnes det et tillegg som er en tabell med naturlige logaritmer. Det er uklart hvor den kom fra, men mest sannsynlig var  [[William Oughtred]] opphavsmannen.<ref name="Maor"> E. Maor, ''e: the Story of a Number'', Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 978-0-691-14134-3.</ref>

På midten av 1600-tallet ble det klart at det var en direkte sammenheng mellom logaritmer og [[hyperbel]]en {{nowrap|''y'' {{=}} 1/''x''}}. [[Christiaan Huygens]] og andre kunne da  definere den [[Naturlig logaritme#Hyperbolsk definisjon|hyperbolske logaritmen]] ved [[integrasjon|integral]]et.

: <math> \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt </math>

som er arealet under kurven for hyperbelen mellom 1 og ''x''. Dette gjorde mulig en eksplisitt beregning av logaritmene til hvert positivt tall. 

I et brev som Huygens mottok fra [[Gottfried Leibniz]] i 1690 blir det nevnt at dette arealet er 1 for et bestemt tall som han kalte ''b''.<ref name = CL> G. Leibniz, [https://books.google.fr/books?id=vtBGAAAAcAAJ&pg=PA33#v=onepage&q&f=false ''Brev fra Leibniz til Huygens''], korrespondanse 1690.</ref> Det danner da grunntallet for de hyperbolske logaritmene og er akkurat slik som Euler noen tiår senere definerte samme tallet, men da betegnet med bokstaven ''e''.<ref name = Boyer/>

===Jakob og Johann Bernoulli===
På samme tid arbeidet [[Jakob Bernoulli]] med matematikken rundt [[rentes rente]]. Hvis man for eksempel har 1 kr i banken med 100 % rente, vil dette beløpet bli 2 kr ved årets slutt. Men hvis renten blir lagt til hvert halvår, vil det bli {{nowrap|(1 + 1/2)(1 + 1/2) {{=}} 2,25}}. Enda bedre er resultatet {{nowrap|(1 + 1/4)<sup>4</sup> {{=}} 2,44}} hvis den blir lagt til ved slutten av hvert kvartal. Slik kan man fortsette og kan oppnå {{nowrap|(1 + 1/365)<sup>365</sup> {{=}} 2,71}} når renten legges til hver dag. I grensen der den legges kontinuerlig til beløpet, vil det derfor bli

: <math> e = \lim_{n\to\infty} \left(1+ {1\over n} \right)^n  </math>

ved årets slutt når man benytter Eulers betegnelse for denne størrelsen. Bernoulli klarte ikke å finne dens nøyaktig verdi, men beviste i 1683 at den måtte være større enn 2 og mindre enn 3.<ref name = Maor/>

Jakob Bernoulli hadde en yngre bror [[Johann Bernoulli]] som også var en anerkjent matematiker. Han undersøkte egenskaper ved [[eksponentialfunksjon]]en og var klar over at denne var den [[funksjon (matematikk)#Som inverse funksjon|inverse]] til [[logaritme|logaritmefunksjonen]]. I tillegg underviste han den unge Euler i matematikk.<ref name="Sandifer"> C.E. Sandifer, ''How Euler Did Even More'', The Mathematical Association of America (2015). ISBN 978-0-88385-584-3.</ref>

I 1714 benyttet  [[Roger Cotes]] den uendelige rekken for ''e'' i sitt verk ''Logometria'' og beregnet tallet med 12 desimalers nøyaktighet.<ref name = Cotes> R. Cotes, [https://archive.today/20140410203227/http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035;view=2up;seq=16 ''Logometria''],  Philosophical Transactions of the Royal Society of London, '''29'''(338), 5–45 (1714).</ref>

===Leonhard Euler===
[[Fil:Houghton GC7 Eu536 748i - Introductio in analysin infinitorum.jpg|thumb|En side fra Eulers store verk ''Introductio in Analysin Infinitorum'' (1748).]]
Fra 1727 da han var 20 år, var [[Leonhard Euler|Euler]] ansatt ved [[Det russiske vitenskapsakademi]]et i [[St. Petersburg]].<ref name = Calinger> R. Calinger,  [https://core.ac.uk/download/pdf/82068344.pdf ''Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)''], Historica Mathematica '''23''', 121–166 (1996). </ref> Samme år brukte han bokstaven ''e'' for konstanten 2,71828 i et manuskript om [[prosjektil]]ers bevegelse. Den var definert ved at dens hyperbolske logaritme {{nowrap|ln''e'' {{=}} 1.}} Denne notasjonen benyttet han også i et brev til [[Christian Goldbach]] i 1731 og i læreverket ''Mechanica'' som kom ut i 1736.<ref name = Cajori> F. Cajori, ''Use of the letter e to represent'' 2.718...  i D. E. Smith, [https://archive.org/stream/sourcebookinmath00smit#page/95/mode/1up ''A Source Book in Mathematics''], McGraw-Hill, New York (1929), archive.org online, pp 95-99.</ref>

Da Euler flyttet til Berlin i 1745, hadde han avsluttet sitt store verk ''Introductio in Analysin Infinitorum'' som ble utgitt først i 1748.<ref name = AnalysInfinit>  L. Euler, [https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n5/mode/2up ''Introductio in Analysin Infinitorum''], Marc Michel Bousquet & Co, Lausanne (1748), archive.org online </ref> Her ga han en fullstendig fremstilling av alle viktige egenskaper ved ''e''. Den numeriske verdien kunne han presentere med 23 desimalers nøyaktighet.<ref name = e23> L. Euler, [https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n115 ''Introductio in Analysin Infinitorum'', Volume I, p. 90], ''e'' med 23 desimaler.</ref>

Sammenhengen med den hyperbolske logaritmen følger fra dens [[derivasjon|deriverte]]. Fra definisjonen er

: <math> {d\over dx} \ln x = {1\over x} </math>

når man benytter [[analysens fundamentalteorem]] som forbinder derivasjon med [[integral]], Men samtidig skal dette også følge fra en direkte beregning, det vil si

: <math> {d\over dx}\ln x = \lim_{h\rightarrow 0}{\ln(x+h) - \ln x\over h} =  \lim_{h\rightarrow 0}{1\over h}\ln \Big(1 + {h\over x}\Big)  </math>

Men dette kan omformes til

: <math> {d\over dx}\ln x = {1\over x}\ln \lim_{n\rightarrow\infty}\Big(1 + {1\over n}\Big)^n = {1\over x}\ln e </math>

når man skriver ''h''/''x'' = 1/''n'' der ''n'' &rarr; &infin; når ''h'' &rarr; 0 og ''x'' holdes fast. Så når den hyperbolske logaritmen ln''e'' = 1, vil den deriverte av logaritmefunksjonen være ganske enkelt 1/''x'' som er mest naturlig. Siden har hyperbolske logaritmer også blitt kalt [[naturlig logaritme|naturlige logaritmer]] og betegnes vanligvis som {{nowrap|ln&thinsp;''x''}}, {{nowrap|log<sub>''e''</sub>&thinsp;''x''&thinsp;}} eller ganske enkelt {{nowrap|log&thinsp;''x''}} når det ikke kan oppstå noen misforståelse.<ref name="Lindstrøm"> T. Lindstrøm,  ''Kalkulus'', Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-15-02710-4.</ref>

De faktiske årsakene til bruken av bokstaven ''e'' er ukjente, men det kan være fordi den er den første bokstaven i ordet eksponentiell. En annen mulighet er at ''e'' var den første ledige bokstaven da ''a'', ''b'', ''c'' og ''d'' kanskje ble brukt for andre størrelser. At Euler skulle ha brukt denne bokstaven med tanke på sitt eget navn, er lite sannsynlig.<ref name = Cajori/>