Redigerer Euler-Mascheronis konstant (avsnitt)

==Numerisk beregning==

Definisjonen av konstanten kan også skrives som

: <math> \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \Big(\sum_{k=1}^n \frac1{k} - \ln(n+1) \Big)
       = \sum_{k=1}^{\infty}\Big( \frac1{k} - \ln\frac{k+1}{k} \Big) </math>

når man benytter den trinnvise kanselleringen av de to bidragene fra logaritmen i hvert ledd som inngår i summasjonen. Selv om denne omskrivningen gjør den numeriske beregningen av konstanten noe enklere, er konvergensen likevel langsom.

Euler tok opprinnelig utgangspunkt i den kjente rekken

: <math> \ln(1 + x) = \sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1} {x^k\over k} = x - {x^2\over 2} + {x^3\over 3} + \cdots </math>

Ved her å sette inn ''x'' = 1/2, 1/3, 1/4, ... , 1/''n'' og så legge sammen rekkene i grensen at ''n'' ble veldig stor, fant han ''&gamma;'' uttrykt ved verdiene til raskt konvergerende serier. Disse ble senere kalt for [[Riemanns zetafunksjon]] ''&zeta;''(''x'') med heltallige argument,

: <math> \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k {\zeta(k)\over k} = {1\over 2}\zeta(2) - {1\over 3}\zeta(3) + {1\over 4}\zeta(4) + \cdots </math>

På denne måten fant han i 1734 verdien ''&gamma;'' = 0.577218, et resultat med 5 sikre desimaler.

[[Fil:Euler mascheroni constant.svg|left|thumb|300px|Det grå arealet representer  Euler-Mascheroni-konstanten ''&gamma;'' som integralet av  - ln(ln(1/x)) fra 0 til 1.]]
Omtrent på samme tid utviklet han [[Euler-Maclaurins formel]] for summasjon av rekker. Den benyttet han til å beregne det ''n''-te [[harmonisk tall|harmoniske tallet]] ''H<sub>n</sub>'' med det resultat at

: <math> \gamma = H_n -  \ln n - \frac{1}{2n} + \frac{1}{12n^2} - {1\over 120 n^4} + \cdots </math>

Her konvergerer uttrykket på høyre side raskt for økende verdier av ''n''. Ved å velge ''n'' = 10 klarte Euler å finne konstanten med 15 korrekte desimaler ved å ta med ledd opp til orden {{nowrap|1/''n''<sup>&thinsp;8</sup>}}.

De harmoniske tallene er direkte forbundet med [[digammafunksjon]]en ''&psi;''(''x'') som igjen er gitt ved den deriverte av [[gammafunksjon]]en,

: <math> H_n  = \gamma +  \psi(n + 1) </math>

Denne sammenhengen har sitt utgangspunkt i at ''&psi;''(1) = &Gamma;'(1) = - ''&gamma;''. Fra det [[gammafunksjon#Digammafunksjonen|definerende integralet]] for gammafunksjonen følger da at

: <math> \gamma =  - \int_0^\infty\!dt\, \ln t\, e^{-t} = - \int_0^1\!dx \ln \ln {1\over x} </math>

Dette uttrykket egner seg godt til numerisk beregning av konstanten. Mange andre, lignende formler finnes og kan benyttes for det formål. Millioner av desimaler er i dag funnet med slike metoder.