Redigerer Elliptisk geometri (avsnitt)

==Definerende egenskaper==

Først etter at [[hyperbolsk geometri]] var etablert på midten av 1800-tallet ble studiet av elliptiske geometrier mer systematisk igangsatt. I utgangspunktet var de definerte ved at [[euklidsk geometri]] er gyldig bortsett fra [[parallellaksiomet|parallellpostulatet]] som må erstattes med kravet at det ikke finnes parallelle linjer. Det tilsvarer at når en linje forlenges, vil den ha minst ett skjæringspunkt med enhver annen linje.<ref name = Bonola>R. Bonola, ''Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development'', Dover Publications, New York (1955). ISBN 0-486-60027-0.</ref>

For å få en konsistent formulering av elliptisk geometri ble det snart klart at man også måtte modifisere mer av euklidsk geometri. Det [[Euklids Elementer#Postulater|andre postulatet]] sier at en linje kan forlenges i begge retninger så langt man ønsker, noe som tilsier at den er uendelig lang. Istedet måtte dette kravet reformuleres til å si at hver linje kan forlenges uten at man kommer til noe endepunkt. Den må i så fall være ''lukket'' med en endelig lengde.

Ut fra slike betraktninger endte man opp med å erstatte det andre postulatet med de to kravene

# To forskjellige punkt ligger kun på én linje 
# En linje i planet deler dette i to

som hver definerer en forskjellig, elliptisk plangeometri. Når det første kravet er oppfylt, men ikke det andre, sier man at man har en '''enkeltelliptisk''' geometri. Dette er hva som vanligvis
menes med en elliptisk geometri. Det motsatte tilfellet der kun det andre kravet er oppfylt, kaller man det en '''dobbeltelliptisk''' geometri og er det samme som [[sfærisk geometri]].<ref name = Cederberg>J.N. Cederberg, ''A Course in Modern Geometries'', Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-98972-2.</ref>