Redigerer Drude-modell (avsnitt)

==Elektroners bevegelse==

[[Elektrisk strøm]] i et [[metall]] foregår ved transport av [[elektron]]er gjennom et gitter av stasjonære, positive [[ion]]er. Hovedantagelsen i Drude-modellen er at elektronene kan beveges seg fritt mellom hver kollisjon med et slikt ion. Dermed vil de virre omkring inne i metallet og kunne beskrives som en [[ideell gass]]. Hver kollisjon forandrer retningen til elektronet på en tilfeldig måte. Mellom hver kollisjon har det en gjennomsnittlig hastighet ''v'' som er avhengig av temperaturen til metallet og kan bestemmes ut fra [[kinetisk teori]]. Etter mange kollisjoner har elektronet i middel ikke beveget seg bort fra begynnelsespunktet.<ref name = SMM> R.A. Serway, C.J. Moses and C.A.  Moyer, ''Modern Physics'',  Saunders, New York (1989). ISBN 0-03-029797-4.</ref> 

Hvis man definerer en [[elektrisk strøm#Driftshastighet og strømtetthet|driftshastighet]] '''v'''<sub>''d''</sub> til elektronet som gjennomsnittshastigheten etter mange kollisjoner, vil den derfor raskt gå mot null. Denne forandringen med tiden ''t&thinsp;''  kan beskrives ved [[differensialligning]]en

: <math> {d\mathbf{v}_d\over dt} =  - {1\over\tau}\mathbf{v}_d </math>

hvor konstanten  ''&tau;'' er den gjennomsnittlige tiden mellom to påfølgende kollisjoner. Når elektronet har en viss driftshastighet '''v'''<sub>''d''</sub>&thinsp;(0) ved tiden ''t'' = 0, gir ligningen at denne varierer med tiden som

: <math> \mathbf{v}_d(t) = \mathbf{v}_d(0) e^{-t/\tau} </math>

og går derfor mot null etter noen få kollisjonstider ''&tau;''.

===Elektrisk ledningsevne===

Når metallet er utsatt for en [[elektrisk spenning]], vil hvert elektron bli påvirket av en kraft {{nowrap|'''F''' {{=}} ''q''&thinsp;'''E'''}} hvor {{nowrap|''q'' {{=}} - ''e''}} er elektronets ladning og '''E''' er det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] som spenningen skaper. Driftshastigheten vil dermed forandres og beregnes fra ligningen

: <math> m{d\mathbf{v}_d\over dt} = q\mathbf{E} - {m\over\tau}\mathbf{v}_d </math>

som følger fra [[Newtons lover|Newtons andre lov]] når ''m'' er elektronets masse. Kollisjonsleddet kan her betraktes som en konstant friksjonskraft som virker på elektronet.

Det elektriske feltet betyr nå at elektronene får en konstant driftshastighet {{nowrap|'''v'''<sub>''d''</sub> {{=}} (''&tau;q''/''m''}'''E'''}}.  Det betyr at de gir opphav til en elektrisk strømtetthet {{nowrap|'''J''' {{=}} ''qn''&thinsp;'''v'''<sub>''d''</sub>&thinsp;}} der ''n'' er tettheten av slike ladningsbærere. Når resultatet for driftsqettheten benyttes, kan strømmen skrives som {{nowrap|'''J''' {{=}} ''&sigma;''&thinsp;'''E'''}} hvor 

:<math> \sigma = n\tau{e^2\over m} </math>

På denne måten gir Drude-modellen en mikroskopisk forklaring av [[Ohms lov]] med et eksplisitt resultat for [[elektrisk ledningsevne]] ''&sigma;''. Et lignende resultat oppnås ved bruk av mer moderne metoder basert på en kvantemekanisk beskrivelse av elektronene. Dette er hovedgrunnen til at Drude-modelllen fremdeles benyttes i forskjellige sammenhenger.<ref name="Kittel"> C. Kittel, ''Introduction to Solid State Physics'', John Wiley & Sons, New York (1986). ISBN 0-471-87474-4. </ref>

Ved økende temperatur vil elektronene i lederen bevege seg raskere mellom hver kollisjon. Dermed blir kollisjonstiden ''&tau;'' kortere og konduktiviteten tilsvarende mindre. Slik kan også Drude-modellen forklare hvorfor den elektriske motstanden vanligvis øker med økende temperatur.

===Oscillerende felt===
Når det ytre feltet '''E''' varierer med tiden, vil også drifthastighten '''v'''<sub>''d''</sub> variere på en tilsvarende måte. Denne variasjonen er enklest å beskrive når tidsvariasjonen er periodisk med en fast [[vinkelfrekvens]] ''&omega;'' = 2''&pi;''&thinsp;''f''. Dette ville være tilfelle når metallet ble utsatt for [[elektromagnetisk stråling]] med en viss [[frekvens]] ''f''. Det elektriske feltet kan da beskrives på [[Bølge#Plane bølger|kompleks form]] som den reelle delen av {{nowrap|'''E'''(''t'') {{=}} '''E'''<sub>0</sub>''e''<sup> -''i&omega;t''</sup>}}. Da vil drifthastigheten få samme frekvensavhengighet slik at bevegelsesligningen til et elektron tar formen

: <math> -im\omega \mathbf{v}_d(\omega) =  q\mathbf{E}(\omega) - {m\over\tau}\mathbf{v}_d (\omega)</math>

Den resulterende strømmen <math> \mathbf{J}(\omega) = nq \mathbf{v}_d(\omega) </math> kan da skrives som

: <math> \mathbf{J}(\omega) = \sigma(\omega) \mathbf{E}(\omega) </math>

hvor den frekvensavhengige ledningsevnen for metaller derfor blir

: <math> \sigma(\omega) = {\sigma \over 1 - i\omega\tau} </math>

Her er <math> \sigma = n\tau{q^2/m}  = \sigma(0) </math> den statiske verdien. Grunnen til at ledningsevnen er kompleks, skyldes at elektronene i denne modellen behøver en tid ''&tau;&thinsp;'' til å reagere på forandringer i det elektriske feltet. Fasen til resulterende strømmen får derfor en ekstra faseforskyvning.<ref name = Kittel/>