Redigerer Dobbeltforhold (avsnitt)

==Definisjoner==
[[Fil:birapport2.png|thumb|300px|Med samme avstand mellom punktene er her dobbeltforholdet  (''A,B'';''C,D'') = -1/3.]]
[[Fil:birapport1.png|thumb|300px|Med samme avstand mellom punktene i en annen orden er nå  (''A,B'';''C,D'') =  2/(3/2) = 4/3.]]

Dobbeltforholdet ble oppdaget i [[euklidsk geometri]] hvor hvert forhold mellom lengden av [[linjestykke]]r  langs en [[linje]] kan uttrykkes ved en [[koordinatsystem|koordinat]] langs denne linjen. For de fire punktene  ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' kan denne angis med tilsvarende små bokstaver  ''a'', ''b'', ''c'', ''d''. Da kan man skrive ''AB'' = ''b - a'' og så videre slik at dobbeltforholdet tar formen

: <math> (A,B;C,D) = {(c - a)(d - b)\over (c - b)(d - a)}  </math>

Det samme uttrykk fremkommer i [[affin geometri]] hvor ikke absolutte lengder er veldefinerte, men bare deres innbyrdes forhold. Koordinatene representerer da verdiene til en affin [[parameter]] langs linjen hvor punktene ligger.<ref name="Stillwell">J. Stillwell, ''The Four Pillars of Geometry'', Springer, New York (2005). ISBN 978-0-387-25530-9.</ref>

===Symmetrier===

Fra definisjonen følger også sammenhengen

: <math> (A,B;C,D) + (A,C;B,D) = 1 </math>

I alt kan de fire punktene [[permutasjon|permuteres]] på 4! = 24 forskjellige måter. Ved hjelp av de forskjellige symmetriene som ligger i definisjonen av dobbeltforholdet, kan disse deles i seks grupper hver med sin egen verdi av ''k'' = (''A,B;C,D'') . For eksempel har man da (''A,C;B,D'') = 1 - ''k'', mens man fra før har at (''A,B;D,C'') = 1/''k''.

De seks forskjellige verdiene kan samles sammen i tabellen

[[Fil:ExempleDivHarm.svg|thumb|300px|''AB'' er delt [[harmonisk deling|harmonisk]] slik at (''A,B'';''C,D'') = -1.]]
: <math>
\begin{align}
(A, B; C, D) & = k & (A, B; D, C) & = {1\over k} \\[6pt]
(A, C; D, B) & =  {1\over 1 - k},  & (A, C; B, D) & = 1 - k \\[6pt]
(A, D; C, B) & = {k\over k - 1} & (A, D; B, C) & = {k -1\over k} 
\end{align}
</math>

Bare i det spesielle tilfellet med [[harmonisk deling]] der ''k'' = -1 vil to av disse falle sammen.<ref name="CR">R. Courant and H. Robbins, ''What is Mathematics?'', Oxford University Press,  New York (1996). ISBN 978-0-19-510519-3.</ref>

===Kopunktuale linjer===
[[Fil:Doppelverh-mit-winkel.svg|thumb|300px|Zum Berechnen des Doppelverhältnisses mit Winkel]]

Flere linjer som går gjennom samme punkt sies å være ''kopunktuale''. Hvis fire slike linjer gjennom et punkt skjæres av en femte linje, vil dobbeltforholdet for de fire skjæringspunktene kunne uttrykkes ved [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjoner]] av vinklene mellom linjen ved bruk av [[euklidsk geometri]].

Hvis nå skjæringspunktene for de fire linjene gjennom ''Z&thinsp;'' igjen betegnes som  ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', kan deres dobbeltforhold skrives som

: <math> (A,B;C,D) = {(AC/ZA)\cdot (BD/ZB)\over (BC/ZB) \cdot (AD/ZA)} </math>

De forskjellige lengdene som her inngår utgjør alle sidekanter i trekanter med et felles hjørne i punktet ''Z''. Ved bruk av [[sinussetningen]] kan forholdet mellom sidene i en trekant uttrykkes ved forholdet mellom de motstående vinklene. For eksempel er

: <math> {AC\over ZA} = {\sin AZC\over\sin ACZ} </math>

når man betegner vinkelen mellom sidene ''AZ'' og ''ZC'' som ''AZC''. På figuren har den verdien ''&alpha;'' + ''&beta;''. Dette gir resultatet

: <math> (A,B;C,D) = {\sin AZC\over\sin BZC}\cdot  {\sin BZD\over\sin AZD} </math>

da de andre vinklene langs skjæringslinjen faller ut. Det skyldes at ''ACZ'' = ''BCZ'' og tilsvarende  ''ADZ'' = ''BDZ''. Som en konsekvens kan man dermed definere dobbeltforholdet  (''ZA'',''ZB'';''ZC'',''ZD'')  mellom fire linjer ''ZA'', ''ZB'', ''ZC'' og ''ZD'' som går gjennom et felles punkt ''Z'' ved sammenhengen

: <math> (ZA, ZB; ZC, ZD) = (A,B; C,D) </math>

når punktene  ''A'', ''B'', ''C'' og ''D'' ligger på en rett linje. Dette gjør det mulig å definere en ''harmonisk bunt'' av fire kopunktuale linjer ved at skjæringspunktene med  enhver annen linje er harmonisk.<ref name="Faulkner">T.E. Faulkner, ''Projective Geometry'', Dover Publications, New York (2006). ISBN 0-486-45326-X.</ref>