Redigerer Diracs deltafunksjon (avsnitt)

==Egenskaper==
De fleste av deltafunksjonens egenskaper kan utledes fra integralet som definerer den.<ref name = MF>  P.A. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, New York, (1953).</ref> Ved et enkelt skifte av variabel finner man 

:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\alpha x)\,dx =\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(y)\,\frac{dy}{|\alpha|} =\frac{1}{|\alpha|}</math>

slik at man har

: <math>\delta(\alpha x) = \frac{\delta(x)}{|\alpha|}.  </math>

Herav følger også at den er en like funksjon ''&delta;(-x) = &delta;(x)'' som forventet. Videre følger fra definisjonen at ''x&delta;(x) = 0'' og at

: <math> \int_{-\infty}^{+\infty} \! dx \,\delta(x - a) f(x) = f(a)  </math>

som sees ved å skifte variabel ''x &rarr; x + a'' i integralet. Man kan også definere den deriverte av deltafunksjonen ved

: <math>  \int_{-\infty}^{+\infty} \! dx \,\delta'(x - a) f(x) = - f'(a)  </math>

som følger fra integralet over ved en partiell integrasjon.

En videre utvidelse er å betrakte deltafunksjonen av en funksjon ''g(x)''. Da vil  ''δ(g(x))''  = 0 hvis  ''g(x)'' ikke har noe røtter.  Har den derimot en reell rot i ''x''<sub>0</sub>, så vil

: <math>\delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}.</math>

Det følger fra å skrive ''g(x) = g(x<sub>0</sub>) + g'(x<sub>0</sub>)(x - x<sub>0</sub>) + ...'' i nærheten av punktet ''x<sub>0</sub>'' hvor ''g(x<sub>0</sub>) = 0''. Har ''g(x)'' flere slike røtter, så vil 

:<math>\delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}</math>

Som et eksempel, vil man derfor ha at

:  <math>\delta(x^2-\alpha^2) = \frac{1}{2|\alpha|}\Big[\delta(x+\alpha)+\delta(x-\alpha)\Big].   </math>