Redigerer Det gyldne snitt (avsnitt)

==Matematikk==
[[Fil:Golden Rectangle Construction2.png|right|thumb|Konstruksjon av et [[Gyldent rektangel|gyllent rektangel]]:<br />
1. Konstruer et kvadrat.<br />
2. Tegn en linje fra midtpunktet på en av sidene til et motstående hjørne.<br />
3. Tegn en bue med denne linjen som radius så de til sammen utgjør den lange siden i rektangelet.]]

Det gyldne snitt bygger på en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det. 

Matematisk kan dette uttrykkes slik: Hvis linjestykket AB er delt i et punkt S slik at forholdet mellom AB og AS er lik forholdet mellom AS og BS sies S å dele AB i det gyldne snitt
[[Fil:Secció_àuria_-_Golden_section.png|left]]

Av definisjonen:
:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi</math>
                                   
Den høyre ligningen viser at <math>a=b\varphi</math>, som kan bli satt inn i den venstre halvdel, som da gir:
:<math>\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,</math>
Stryke ut <math>b</math> og multiplisere begge sider med <math>\varphi</math> og ordne ligningen leder til:
:<math>\varphi^2 - \varphi - 1 \ = \ 0\ .</math>
Det kan enkelt verifiseres at den eneste positive løsningen til denne [[Andregradsligning|annengradsligningen]] er
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618\,033\,989</math>
Det motsatte forhold er kjent som det '''konjugerte gyldne snitt''' og man bruker stor <math>\Phi</math> for å angi dette:
:<math>\Phi = \frac{b}{a} = {1 \over \varphi} \approx 0,618\,033\,989</math>
Alternativt kan <math>\Phi</math> uttrykkes som:
:<math>\Phi = \varphi -1</math>
Dette illustrer den unike egenskapen (blant positive tall) med det gyldne snitt at: 
:<math> \frac{1}{\varphi} = \varphi-1 </math>
De to løsningene er innbyrdes inverse og har de samme desimalene.

=== Fibonaccitall ===
Den italienske matematikeren [[Leonardo Fibonacci]] fra [[Pisa]] er mest kjent for å ha «oppdaget» den kjente [[følge (matematikk)|følgen]] av det som i dag kalles [[fibonaccitall]]ene. Han beskrev disse tallene i sin første bok, ''Liber abbaci'' fra 1202. Følgen dannes ved å begynne med tallene 0 og 1, og så la de neste tallene i følgen være summen av de to foregående tallene. Den begynner slik:

0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13. Tallene videre er 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

Formelen for å finne det ''n''-te tall i Fibonacci-følgen ble utviklet av ''Jacques Philippe Marie Binet'' i 1843:
:<math>a_n = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}={{\varphi^n-(-1/\varphi)^{n}} \over {\sqrt 5}}\, ,</math>
hvor
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618\,033\,989\dots\,</math>
er ''det gyldne snitt''. [[Johannes Kepler]] påviste at Fibonacci-følgen [[konvergens|konvergerer]]. Når fibonaccitallene går mot uendelig, vil forholdet mellom to påfølgende tall nærme seg stadig mer til [[grenseverdi]]en φ eller det gyldne snitt.  Fibonaccitallene er altså nært beslektet med det gyldne snitt og alle figurer som dette genererer, som [[gyllent rektangel|det gyldne rektangel]], ''det gyldne triangel'', ''den gyldne spiral'', [[pentagon]] og [[pentagram]]. 

Fibonaccitallene opptrer i utallige naturfenomener, som måten blader blir [[Bladstilling|organisert]] i mange planter, eller geometrien i en [[kongle]], eller strukturen i en [[perlebåter|perlebåt]].