Redigerer Den generelle relativitetsteorien (avsnitt)

==Sammenfatning==

Mens den [[spesiell relativitetsteori|spesielle relativitetsteorien]] er basert på at [[lyshastigheten]] er den samme i alle [[inertialsystem]], er den generelle teorien en konsekvens av [[ekvivalensprinsippet]] som forbinder [[akselerasjon]] og [[gravitasjon]]. Det betyr at i et lite område av rommet hvor det virker tyngdekrefter, kan man i et kort tidsrom alltid finne et [[referansesystem]] hvor disse ikke opptrer og hvor den spesielle teorien derfor er gyldig. På den måten er den generelle relativitetsteorien en utvidelse av den spesielle til å gjelde i alle referansesystem i vilkårlig bevegelse i forhold til hverandre.<ref name="MTW">C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, ''Gravitation'', W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.</ref>

Dette er analogt med at på en krum [[flate]] kan man alltid i et lite område bruke [[euklidsk geometri]] hvor der ikke er noen [[krumning]]. Hele flaten kan betraktes som sammensatt av slike mindre områder og må beskrives med todimensjonal, [[riemannsk geometri]]. På samme måte må [[tidrom]]met hvor der virker tyngdekrefter, beskrives med den samme geometrien utvidet til fire dimensjoner. Det som oppleves som tyngdekrefter, er effekten av krumningen til tidrommet uttrykt ved [[tensor#Einstein og Grossmann|Riemanns krumningstensor]] {{nowrap|''R<sup>&mu;</sup><sub>&nu;&alpha;&beta;</sub>''}}.

Egenskapene til et [[Rom (matematikk)|rom]] beskrevet ved riemannsk geometri, er inneholdt i den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] ''g<sub>&mu;&nu;</sub>''. Den gir avstanden ''ds'' mellom to nærliggende punkt som er adskilt med en koordinatforskjell ''dx<sup>&mu;</sup>'' som kan uttrykkes ved kvadratet av den differensielle [[buelengde]]n,

:  <math> ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu </math>

Her og ellers i generell relativitetsteori brukes [[Einsteins summekonvensjon]] hvor man summerer over all like indekser. I tidrommet tilsvarer disse en tidskoordinat og tre romkoordinater. Komponentene til krumningstensoren finnes ved å ta deriverte av den metriske tensoren.<ref name = RN>H.P. Robertson and T.W. Noolan, ''Relativity and Cosmology'', W.B. Saunders Company, Philadelphia (1968).</ref>

I [[Newtons gravitasjonslov|Newtons teori]] er tyngdekrefter forårsaket av masser. Einstein viste i den spesielle teorien at [[masseenergiloven|masse er ekvivalent med energi]]. Dermed vil ren energi i en relativistisk gravitasjonsteori forårsake tyngdekrefter. Alle former for materie, om den består av massive partikler eller ren stråling, vil gi opphav til gravitasjon og derfor frembringe krumning. Størrelsen av den materielle innflytelse på krumningen av tidrommet er uttrykt ved [[energi-impulstensor]]en ''T<sub>&mu;&nu;</sub>''. Denne sammenhengen mellom krumning og materie utgjør [[Einsteins feltligning]]

: <math> E_{\mu\nu}  = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} </math>

hvor  på venstre side ''E<sub>&mu;&nu;</sub>&thinsp;'' er [[Einsteins feltligning|Einsteins krumningstensor]] som kan avledes direkte av den til [[Bernhard Riemann|Riemann]]. Videre er ''c''  [[lyshastigheten]] og ''G'' er [[gravitasjonskonstanten]], mens ''&Lambda;'' er [[kosmologisk konstant|den kosmologiske konstanten]] som Einstein måtte ta med noe senere i kosmologisk sammenheng.

Denne fundamentale feltligningen utgjør i alt ti ligninger, en for hvert sett av uavhengige komponenter. Derfor omtales den også som «Einsteins feltligninger». For en gitt fordeling av energi og masse uttrykt ved energi-impulstensoren ''T<sub>&mu;&nu;</sub>'', vil hver av komponentene til ligningen utgjøre en [[partielle differensialligninger|partiell differensialligning]] for komponentene til metrikken ''g<sub>&mu;&nu;</sub>''. En løsning av ligningene vil da gi de metriske egenskapene til tidrommet. Materien vil bevege seg i denne geometrien ved at hver del beveger seg langs en [[geodetisk kurve]].

Den generelle relativitetsteorien beskriver ikke bare ren gravitasjon, men også hvordan denne kobler til all annen materie. Dette skjer ved at ligningene som beskriver de fundamentale vekselvirkningene i [[Standardmodellen]], må se likedan ut i alle valg av koordinatsystem. Ligningene sies å være '''kovariante''' da de bevarer sin form under vilkårlige koordinattransformasjoner. I praksis benytter man dette når man løser dem, ved å velge et koordinatsystem som gir de største forenklingene basert på symmetrier eller andre forhold.<ref name="Carroll">S.M. Carroll, ''Spacetime and Geometry'', Pearson, New York (2003). ISBN 978-0-805-38732-2.</ref>