Redigerer De Broglies bølgelengde (avsnitt)

==Opprinnelig utledning==
Allerede i [[1905]] hadde [[Albert Einstein]] foreslått at energien i en lysbølge med frekvens ''&nu;'' er konsentrert i små [[kvant]] med energi {{nowrap|''E {{=}} h&nu;''}} hvor ''h'' er [[Plancks konstant]]. Dette forklarte egenskaper ved den [[fotoelektrisk effekt|fotoelektriske effekt]], og han ble for dette belønnet med [[Nobelprisen i fysikk]] i [[1921]]. Da var det blitt klart at disse kvantene måtte betraktes som vanlige partikler da Einstein hadde vist at de også har en veldefinert [[bevegelsesmengde|impuls]] {{nowrap|''p {{=}} h''/''&lambda;''}} hvor {{nowrap|''&lambda; {{=}} c/&nu;''}} er bølgelengden til lyset. Disse lyspartiklene kalles i dag for [[foton]]er.<ref name = Pais>A. Pais, ''Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World'', Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.</ref>

I sin opprinnelige utledning betraktet de Broglie en partikkel med masse ''m'' i sitt hvilesystem. Som følge av Einsteins [[masseenergiloven|masseenergilov]]  har partikkelen derfor energien {{nowrap|''E {{=}} mc''<sup>2</sup>}}. Ved å anta at hva som gjelder for et foton også må gjelde for en partikkel, kunne han dermed tilordne denne partikkelen en frekvens som generelt må være {{nowrap|''&nu; {{=}} E''/''h''}} og representerer en [[harmonisk oscillator|oscillasjon]] i partikkelen. Når den så beveger seg, viste han ved bruk av den [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteorien]] at den blir fulgt av en [[bølge]] i samme retning og med [[bølgelengde]] {{nowrap|''&lambda; {{=}} h''/''p''.}} Her er  ''p''  [[spesiell relativitet#Relativistisk impuls|impulsen]] til partikkelen som generelt kan skrives som {{nowrap|''p {{=}} &gamma;mv''}} når den har hastighet ''v'' og {{nowrap|''&gamma;'' {{=}} 1/&radic;(1 - ''v''<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup>)}} er [[Spesiell relativitetsteori|Lorentz-faktoren]]. De Broglies bølgelengde er derfor

: <math> \lambda = {h\over mv}\sqrt{1 - v^2/c^2} </math>

Denne materiebølgen  har en [[fasefart|fasehastighet]] ''u'' = ''&lambda;&nu;&thinsp;'' = ''E''/''p'' der energien nå er {{nowrap|''E'' {{=}} ''&gamma;mc''<sup>2</sup>,}} for partikkelen i bevegelse. Fasehastighten til bølgen er derfor i alminnelighet forskjellig fra partikkelens fysiske hastighet ''v'' og er gitt som {{nowrap|''u {{=}} c''<sup>2</sup>/''v''}}. Den er alltid større enn lyshastigheten. Kun for fotonet med {{nowrap|''v {{=}} c''}} blir fasehastigheten den samme som partikkelhastigheten.<ref name = Born>M. Born, ''Atomic Physics'', Blackie & Son, Glasgow (1935).</ref>.

Samme fasehastighet ble funnet av [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] i hans [[Hamilton-mekanikk#Fronter av bølger|bølgebeskrivelse]] av [[Lagrange-mekanikk|klassisk mekanikk]]. Selv om hans utgangspunkt var ganske annerledes enn de Broglies, skulle det vise seg at hans betraktninger likevel skulle spille en viktig rolle i den videre utvikling av kvantemekanikken.

===Bølgevektor===

Materiebølgen for en  partikkel med impuls ''p'' har en bølgelengde ''&lambda; = h''/''p'' og derfor et [[bølge#Harmoniske bølger|bølgetall]] {{nowrap|''k'' {{=}} 2''&pi;''&thinsp;/''&lambda;''.}} Det kan skrives som {{nowrap|''k {{=}} p''/''ħ''&thinsp;}} der {{nowrap|''ħ {{=}} h''/2''&pi;''&thinsp;}} er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]]. Da bølgen beveger seg i samme retning som impulsvektoren '''p''', er den tilsvarende bølgevektoren gitt som '''k''' = '''p'''/''ħ''. [[Vinkelfrekvens]]en {{nowrap|''&omega;'' {{=}} 2''&pi;&thinsp;&nu;''&thinsp;}} til bølgen kan på samme måte skrives som {{nowrap|''&omega; {{=}} E''/''ħ''&thinsp;}} da {{nowrap|''&nu; {{=}} E''/''h''}}.

I den [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteorien]] utgjør energien ''E'' og impulsen '''p''' til en fri partikkel en [[Kovariant relativitetsteori#Firevektorer|firevektor]] som blir

: <math> p^\mu = (E/c, \mathbf{p}) = \hbar (\omega/c, \mathbf{k})  =  \hbar  k^\mu</math>

hvor  bølgefirevektoren ''k<sup>&mu;</sup>&thinsp;'' karakteriserer dens materiebølge.  Denne kovariant sammenhengen mellom impuls og bølgetall gjelder også for et [[foton]] som har null masse. En [[bølge#Plane bølger|plan bølge]] på formen

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)} = e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar} </math>

beskriver derfor likså godt [[elektromagnetisk stråling|elektromagnetiske bølger]] som materiebølger. Her kan nå fasen til bølgen skrives på [[Kovariant relativitetsteori#Firevektorer|kovariant]] form som  {{nowrap|''k<sup>&mu;</sup>x<sub>&mu;</sub>&thinsp;''}} der firevektoren  {{nowrap|''x<sup>&mu;</sup>'' {{=}} (''ct'', '''x''')}} og man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] og summerer over like indekser.

===Gruppehastighet===
[[Fil:Photon paquet onde.png|thumb|right|[[Louis de Broglie]] foreslo i 1924 at en [[bølgepakke]] kan beskrive en materiell partikkel.]]

Materiebølgene som de Broglie foreslo, skulle være like fysiske som [[elektromagnetisk stråling|elektromagnetiske bølger]] for fotonet. Men når bølgen har en gitt bølgelengde tilsvarende en gitt impuls for partikkelen, strekker den seg ut over hele rommet, mens partikkelen har en bestemt posisjon. Denne konflikten omtales som en [[bølge–partikkel-dualitet]].

For å forstå hvordan en lokalisert partikkel kan beskrives ved hjelp av bølgeformalismen, forslo de Broglie at den skulle tilsvare en  [[bølgepakke]] av plane bølger. 
En slik pakke beveger seg med en  [[gruppefart|gruppehastighet]] {{nowrap|''v<sub>g</sub> {{=}} d&omega;/dk''&thinsp;}} som nå kan skrives som {{nowrap|''v<sub>g</sub> {{=}} dE/dp''}}.

For en [[Spesiell relativitet#Relativistisk impuls|relativistisk partikkel]] er sammenhengen mellom  energi og impuls i alminnelighet

: <math> E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 </math>

Derfor er  ''EdE = c''<sup>2</sup>''pdp'' slik at gruppehastigheten blir {{nowrap|''v<sub>g</sub>'' {{=}} ''c''<sup>2</sup>''p''/''E''.}} Nå kan man i alminnelighet  også skrive energien som {{nowrap|''E'' {{=}} ''&gamma;mc''<sup>2</sup>}} og impulsen som {{nowrap|''p {{=}} &gamma;mv''}} slik at gruppehastigheten blir {{nowrap|''v<sub>g</sub>'' {{=}} ''v''}} og er lik den fysiske hastigheten.

Uttrykket {{nowrap|''c''<sup>2</sup>''p''/''E''&thinsp;}} for gruppehastigheten gjelder også for en ikke-relativistisk partikkel som har hastighet ''v << c''&thinsp; slik at dens energi blir

: <math> E = mc^2 + {p^2\over 2m} </math>

Dropper man her hvileenergien ''mc''<sup>2</sup>, er fortsatt gruppehastigheten  ''v<sub>g</sub> =  dE/dp = p/m = v''. Men fasehastigheten til bølgen blir da {{nowrap|''u {{=}} E''/''p''}} = {{nowrap|''p''/2''m'' {{=}} ''v''/2}} og er derfor mindre enn lyshastigheten. Vanligvis har et konstant tillegg til energien ingen konsekvens i ikke-relativistisk fysikk. Men at det ikke gjelder for disse materiebølgene, er en annen indikasjon på at de ikke kan ha en virkelig eksistens.<ref name = Bohm>D. Bohm, ''Quantum Theory'', Dover Books, New York (1989).  ISBN 0-486-65969-0.</ref>