Redigerer Compton-effekt (avsnitt)

==Utledning av Comptons formel==

De ytterste [[elektron]]ene til atomene i alle materialer har [[bindingsenergi]]er som bare er noen få [[eV]]. Et [[foton]] i [[røntgenstråling]] har en typisk energi av størrelsesorden [[elektronvolt|keV]], mens [[gammastråling]] tilsvarer fotoner med energier av størrelsesorden [[MeV]]. I eksperimentene til Compton kan derfor disse elektronene betraktes som frie.

La oss anta at det innkommende fotonet har energien ''E = h&nu;'' hvor frekvensen ''&nu; = c/&lambda;'' på vanlig måte kan uttrykkes ved bølgelengden ''&lambda;''. Det spredte fotonet som går i en retning ''&theta;'', har tilsvarende energien ''E = h&nu;' '' med ''&nu;' = c/&lambda;' ''. Compton antok også at energi og impuls var bevart i denne spredningsprosessen på samme måte som i klassisk fysikk. Dette var på ingen måte opplagt på det tidspunktet og som til og med [[Niels Bohr]] bestred. Med energibevarelse skal den totale energien før kollisjonen være den samme som etterpå. Derfor må

: <math> h\nu + mc^2 = h\nu' + \gamma mc^2 </math>

hvor det siste leddet er energien til elektronet som blir slått til siden. Har det hastigheten ''v'', er her {{nowrap|''&gamma;'' {{=}} 1/&radic;(1 - ''v''<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup>)}} den berømte [[spesiell relativitetsteori|Lorentz-faktoren]] for en relativistisk partikkel.

Compton antok også at fotonet hadde en [[impuls]] som i [[elektrodynamikk|klassisk elektrodynamikk]] hvor den er ''p = E/c = h/&lambda;''. Dette hadde [[Einstein]] tidligere kommet frem til på en helt annet måte basert på [[statistisk fysikk]] for [[termisk stråling|sort stråling]]. Elektronet som blir truffet av det innkommende fotonet, ligger i ro og har derfor impuls ''p = 0''. Derimot har elektronet som blir slått ut med hastighet ''v'', en total impuls {{nowrap|''p {{=}} &gamma;mv''}} i retning ''&phi;'' som vist i figuren. Bevarelse av impulsen i retning av det innkommende fotonet blir dermed

: <math> (h\nu/c) = (h\nu'/c)\cos\theta + \gamma mv\cos\phi </math>

På samme måte må den totale impulsen normalt på denne retningen være null, altså

: <math> (h\nu'/c)\sin\theta = \gamma mv\sin\phi </math>

I de to siste ligningene kan man nå isolere leddene med sin''&phi;'' og cos''&phi;'', kvadrere disse og legge sammen ligningene. Det gir

: <math> \gamma^2m^2v^2c^2 = h^2( \nu^2 + \nu'^2 -2\nu\nu'\cos\theta) </math>

På samme måte gir kvadratet av ligningen for energibevarelse relasjonen

: <math> \gamma^2m^2c^4 = \Big(h(\nu - \nu')^2 + mc^2\Big)^2  = h^2( \nu^2 + \nu'^2 -2\nu\nu') + 2hmc^2(\nu - \nu') + m^2c^4 </math>

Fra denne ligningen trekker vi nå ligningen over og benytter relasjonen {{nowrap|''&gamma;<sup>2</sup>(1 - v<sup>2</sup>/c<sup>2</sup>) {{=}} 1''}}. Det gir {{nowrap|''h&nu;&nu;'&thinsp;(1'' - cos''&theta;) {{=}} mc<sup>2</sup>(&nu; - &nu;'&thinsp;)''}} eller

: <math> \lambda' - \lambda = {h\over mc}\Big(1 - \cos\theta\Big) </math>

som er Comptons formel for forandringen av bølgelengden til den spredte strålingen.<ref>Arthur H. Compton, ''A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements'',  Physical Review '''21''', 483 - 502 (1923).</ref> Omtrent samtidig ble dette resultatet også utledet av [[Peter Debye]].<ref>Peter Debye, ''Zerstreuung von Röntgenstrahlen und Quantentheorie'', Physikalische Zeitschrift '''24''', 161 - 168 (1923).</ref> Utledningen kan gjøres mer direkte ved bruk av [[spesiell relativitetsteori|relativitetsteori]] og [[kovariant relativitetsteori|firervektorer]].