Redigerer Carnots teorem (avsnitt)

== Bevis ==
[[Fil:Carnot_theorem_paradox.jpg|miniatyr|300x300pk|En umulig situasjon: En varmemotor kan ikke kjøre en mindre effektiv (reversibel) varmemotor uten å bryte den andre loven om termodynamikk.]]

Beviset for Carnot-teoremet er et bevis på motsigelse, eller [[reductio ad absurdum]], som illustrert i figuren som viser to varmemotorer som kjører mellom to magasiner med forskjellig temperatur. Varmemotoren med mer effektivitet (<math>\eta_M</math>) kjører en varmemotor med mindre effektivitet (<math>\eta_L</math>), forårsaker sistnevnte til å fungere som en [[varmepumpe]]. Dette paret av motorer mottar ingen utvendig energi, og opererer utelukkende på energien som frigjøres når varmen overføres fra det varme og til det kalde reservoaret. Imidlertid hvis <math>\eta_M>\eta_L</math>, da vil nettovarmestrømmen være bakover, dvs. inn i det varme reservoaret:

: <math>Q^\text{out}_\text{hot} = Q < \frac{\eta_M}{\eta_L}Q=Q^\text{in}_\text{hot}.</math>

Det er enighet om at dette er umulig fordi det bryter med den [[Termodynamikkens andre hovedsetning|andre loven om termodynamikk]].

Vi begynner med å verifisere arbeidsverdiene og varmestrømmen som er vist i figuren. Først må vi påpeke en viktig advarsel: motoren med mindre effektivitet (<math>\eta_L</math>) kjøres som varmepumpe, og må derfor være en reversibel motor.{{Citation needed|date=February 2019}} Hvis den mindre effektive motoren (<math>\eta_L</math>) er ikke reversibel, da kan enheten bygges, men uttrykkene for arbeid og varmestrøm vist i figuren vil ikke være gyldige.

Ved å begrense vår diskusjon til tilfeller der motor (<math>\eta_L</math>) har mindre effektivitet enn motor (<math>\eta_M</math>), vi er i stand til å forenkle notasjonen ved å vedta konvensjonen om at alle symboler, <math>Q</math> og <math>W</math> representerer ikke-negative størrelser (siden retningen på energistrømmen aldri endrer tegn i alle tilfeller der <math>\eta_L\leqslant\eta_M</math>). Bevaring av energi krever at for hver motor, energien som kommer inn, <math> E_{in} </math>,må tilsvare energien som kommer ut, <math> E_{out} </math>:

: <math>E_\text{in}^M = Q = (1-\eta_M)Q + \eta_M Q = E_\text{out}^M,  </math>

: <math>E_\text{in}^L = \eta_M Q + \eta_M Q \left(\frac{1}{\eta_L}- 1 \right )=\frac{\eta_M}{\eta_L}Q = E_\text{out}^L, </math>

Figuren er også i samsvar med definisjonen av effektivitet som <math>\eta=W/Q_h</math> for begge motorer:

: <math>\eta_M= \frac{W_M}{Q^M_h}=\frac{\eta_M Q}{Q}=\eta_M,</math>

: <math> \eta_L=\frac{W_L}{Q^L_h}=\frac{\eta_M Q}{\frac{\eta_M}{\eta_L}Q}=\eta_L.</math>

Det kan virke rart at en hypotetisk varmepumpe med lav effektivitet blir brukt til å bryte den andre loven om termodynamikk, men verdien av kjøleskap er ikke effektivitet, <math>W/Q_h</math>,men ytelseskoeffisienten (COP)<ref>{{cite book|last=Tipler|first=Paul|title=Physics for Scientists and Engineers|year=2008|publisher=Freeman|isbn=9781429201322|edition=6th|author2=Mosca, G.|chapter=19.2, 19.7}}</ref>som er <math>Q_c/W</math>. En reversibel varmemotor med lav termodynamisk effektivitet, <math>W/Q_h</math> leverer mer varme til det varme reservoaret for en gitt mengde arbeid når det kjøres som varmepumpe.

Etter å ha konstatert at varmestrømningsverdiene vist i figuren er riktige, kan Carnos teorem bevises for irreversible og reversible varmemotorer.<ref name="CarnotThoerem">{{cite web|url=http://seit.unsw.adfa.edu.au/staff/sites/hrp/Literature/articles/CarnotTheorem.pdf|title=Lecture 10: Carnot theorem|date=07.02.2005|access-date=05.10.2010}}</ref>

=== Reversible motorer ===
For å se at hver reversible motor går mellom reservoarene <math>T_1</math> og <math>T_2</math> må ha samme effektivitet, anta at to reversible varmemotorer har forskjellige verdier på <math>\eta</math>, og la den mer effektive motoren (M) kjøre den mindre effektive motoren (L) som en varmepumpe. Som figuren viser vil dette føre til at varmen strømmer fra kulden til det varme reservoaret uten noe ytre arbeid eller energi, noe som bryter med den andre loven om termodynamikk. Derfor har begge (reversible) varmemotorene samme effektivitet, og vi konkluderer med at:

: ''Alle reversible motorer som opererer mellom de samme to varmemagasinene har samme effektivitet.''

Dette er et viktig resultat fordi det hjelper med å etablere [[Clausius-teoremet]], noe som innebærer at endringen i [[entropi]] er unik for alle reversible prosesser.,<ref>{{cite book|last=Ohanian|first=Hans|title=Principles of Physics|url=https://archive.org/details/principlesofphys0000ohan|year=1994|publisher=W.W. Norton and Co.|isbn=039395773X|pages=[https://archive.org/details/principlesofphys0000ohan/page/438 438]}}</ref>

: <math>\Delta S = \int_a^b \frac {dQ_\text{rev}}T, </math>

over alle stier (fra '''''a''''' til '''''b''''' i ''V-T'' rommet). Hvis denne integralen ikke var baneuavhengig, ville entropi, S, miste statusen som en tilstandsvariabel.<ref>http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/ThermLaw2/ThermalProcesses.html {{Wayback|url=http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/ThermLaw2/ThermalProcesses.html |date=20131228111404 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131228111404/http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/ThermLaw2/ThermalProcesses.html|date=2013-12-28}}, and http://www.itp.phys.ethz.ch/education/hs10/stat/slides/Laws_TD.pdf {{Wayback|url=http://www.itp.phys.ethz.ch/education/hs10/stat/slides/Laws_TD.pdf |date=20131213183127 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131213183127/http://www.itp.phys.ethz.ch/education/hs10/stat/slides/Laws_TD.pdf|date=2013-12-13}}. Both retrieved 13 December 2013.</ref>

=== Irreversible motorer ===
Hvis en av motorene er irreversibel, må (M) motoren være plassert slik at den reverserer den mindre effektive, men reversible (L) motoren. Men hvis denne irreversible motoren er mer effektiv enn den reversible motoren, (dvs. hvis<math>\eta_M >\eta_L</math>), så er den andre loven om termodynamikk brutt. Og siden Carnot-syklusen representerer en reversibel motor, har vi den første delen av Carnots teorem:

: Ingen irreversibel motor er mer effektiv enn Carnot-motoren som går mellom de samme to reservoarene.