Redigerer Boltzmann-fordeling (avsnitt)

==Bakgrunn og utledning==

Etter at [[James Clerk Maxwell]] i 1860 hadde publisert sin utledning av [[sannsynlighetsfordeling]]en for hastighetene i en gass, begynte [[Ludwig Boltzmann]] en lang periode med intense studier av den generelle gyldigheten av denne [[Maxwell-fordeling]]en og hvordan den kan opptre for systemer som opprinnelig ikke befinner seg i termisk likevekt. Med årene ble disse spørsmålene avklart, og i dag eksisterer det mange forskjellige måter å utlede denne mer generelle Boltzmann-fordelingen.<ref name = Brush> S.G. Brush, ''The Kind of Motion We Call Heat'', North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1976).</ref>

En [[Statistikk|statistisk]] beskrivelse av energien ''E&thinsp;'' til én partikkel som befinner seg i en bestemt bevegelse eller [[mikrotilstand]] sammen med et større antall av like partikler, er gitt ved å finne en sannsynlighetsfordelinge ''p''(''E'').  Den relative sannsynligheten ''p''(''E''<sub>1</sub>)/''p''(''E''<sub>2</sub>) for å finne den med to forskjellige energier, kan ikke være avhengig av hvordan man setter nullpunktet for disse energiene. Derfor må man ha at dette forholdet bare avhenger av differensen mellom de to energiene,

: <math> {p(E_1)\over p(E_2)} = f(E_1 - E_2) </math>
 
Ved å betrakte en tredje energi ''E''<sub>3</sub> kombinert ved observasjonen at ''p''(''E''<sub>1</sub>)/''p''(''E''<sub>3</sub>) = ''p''(''E''<sub>1</sub>)/''p''(''E''<sub>2</sub>)&times;''p''(''E''<sub>2</sub>)/''p''(''E''<sub>3</sub>), følger det dermed at

: <math>  f(E_1 - E_3) = f(E_1 - E_2)f(E_2 - E_3) </math>

Den eneste funksjonen som tilfredsstiller ligningen, er [[eksponensialfunksjon]]en. Dermed må fordelingsfunksjonen ha formen

: <math> p(E) = {1\over Z} e^{-\beta E} </math>

hvor ''&beta;&thinsp;'' er en konstant. Sammenligning med Maxwell-fordelingen viser at {{nowrap|''&beta;'' {{=}} 1/''k<sub>B</sub>T'' }} der ''k<sub>B</sub>&thinsp;'' er [[Boltzmanns konstant]] og ''T&thinsp;'' er likevektstemperaturen. Den ukjente faktoren ''Z&thinsp;'' kan bestemmes ved normalisering av sannsynlighetsfordelingen.<ref name = Huang> K. Huang, ''Statistical Mechanics'', J. Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-85913-3.</ref>

===Boltzmanns entropi===
[[Fil:Boltzmann, Ludwig – Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere weglänge Verschwinden, 1896 – BEIC 10990650.jpg|thumb|200px|Forsiden av Boltzmanns forelesninger om gassteori, utgitt 1896.]]
I sitt arbeid med å forstå Maxwells hastighetsfordeling og hvordan den var kompatibel med [[termodynamikkens andre hovedsetning]], kunne Boltzmann forbinde et systems [[entropi]] ''S&thinsp;'' med antall [[mikrotilstand]]er ''W&thinsp;'' som det har tilgang til. Denne sammenhengen ble av [[Max Planck]] skrevet som

: <math> S = k_B \log W </math>

hvor man benytter den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmen]]. Det var ved denne formelen han definerte Boltzmanns konstant. Da antall mikrotilstander prinsipielt kan beregnes også når systemet er ute av likevekt, kan formelen også forklare hvordan entropien hele tiden vokser ved at systemet søker mot en likevektstilstand inneholdende et maksimalt antall mikrotilstander.<ref name = Holton> G. Holton and S.G. Brush, ''Physics, the Human Adventure'', Rutgers University Press, New Jersey (2006). ISBN 0-8135-2908-5.</ref>

For et system av partikler med total energi ''E<sub>T</sub>&thinsp;'' vil sannnsynligheten ''p''(''E'') for at en partikkel har energien ''E&thinsp;'' i én bestemt mikrotistand, være proporsjonal med antall tilstander ''W''(''E<sub>T</sub>'' - ''E'') som forblir tilgjengelig for de resterende partiklene. Ved å benytte at ''E'' << ''E<sub>T</sub>'',  kan man knytte dette direkte til systemets entropi, 

: <math> \log W(E_T - E) = \log W(E_T) - {E\over k_BT} </math>

Dette følger fra den vanlige, [[Entropi#Andre hovedsetning|termodynamiske deriverte]] <math> \partial S/\partial U = 1/T. </math> Da den søkte sannsynligheten <math> p(E) \propto  W(E_T - E), </math> har man igjen resultatet

: <math> p(E) = {1\over Z} e^{- E/k_BT} </math>

Argumentet i eksponensialfunksjonen blir ved denne utledningen automatisk bestemt uten å måtte sammenligne med kinetisk teori for en ideell gass.<ref name = KK> C. Kittel and H. Kroemer, ''Thermal Physics'', W.H. Freeman and Company, San Fransisco (1980). ISBN 0-7167-1088-9.</ref>