Redigerer Bohr-Sommerfeld-kvantisering (avsnitt)

==Matematisk formulering==
I den opprinnelig formuleringen av [[Bohrs atommodell]] går elektronet i [[hydrogenatom]]et rundt [[atomkjerne]]n i en sirkulær bane som er bestemt ved kvantebetingelsen at  [[dreieimpuls]]en ''p<sub>&phi;</sub>''&thinsp; skal være et helt multiplum av den  [[Plancks konstant|reduserte Planck-konstanten]] ''ħ''. Det tilsvarer lovmessigheten

: <math> p_\phi = n\hbar </math>

hvor [[kvantetall]]et ''n&thinsp;'' tar verdiene 1, 2, 3, ... og så videre.<ref name = FT> A.P. French and E.F. Taylor, ''An Introduction to Quantum Physics'', W. W. Norton & Company, New York (1978). ISBN 0-393-09106-0.</ref>

Den tyske fysiker [[Arnold Sommerfeld]] generaliserte i 1916 denne [[kvantisering (fysikk)|kvantiseringen]] ved å postulere at en tilsvarende kvantebetingelse skulle gjelde for alle tre komponentene av [[bevegelsesmengde|impulsen]] til elektronet under en vilkårlig bevegelse i en lukket bane.<ref name = Sommerfeld1916> A. Sommerfeld, ''Zur Quantentheorie der spektrallinien,'' Ann. Phys. '''51''', 1 - 94 (1916). </ref> Man må da benytte koordinater slik at bevegelsen er periodisk i hver av dem. Kalles disse for ''q<sub>k</sub>&thinsp;'' og de tilsvarende, [[Lagrange-mekanikk|kanoniske impulsene]]  ''p<sub>k</sub>&thinsp;'', skal kvantebetingelsene være

: <math> \oint\! p_k dq_k = n_k h </math>

hvor indeksen ''k'' i alminnelighet tar like mange verdier som antall dimensjoner partikkelen beveger seg i. For et elektron i et atom får man derfor tre tilsvarende kvantetall ''n<sub>k</sub>''.  Den engelske fysiker Willian Wilson hadde omtrent samtidig med Sommerfeld foreslått og benyttet samme kvantisering.<ref name = Wilson> W. Wilson, ''The quantum theory of radiation and line spectra'',  Phil. Mag. '''29''', 795 – 802 (1915).</ref>

Hvis man betrakter den [[asimut]]ale vinkelen ''&phi;'' som beskriver elektronets posisjon i banen, vil den forandre seg med 2''&pi;''&thinsp; under en lukket bevegelse. Hvis i tillegg den konjugerte komponenten ''p<sub>&phi;</sub>''&thinsp; er konstant, gir integralet 2''&pi;&thinsp;p<sub>&phi;</sub>''&thinsp; som igjen fører til de samme, kvantiserte verdiene som Bohr benyttet.

Knapt ti år senere kunne [[Louis de Broglie]] med sin teori for [[materiebølger]] forklare denne kvantebetingelsen. Utfra [[Einstein]]s beskrivelse av [[foton]]et som både partikkel og [[bølge]], postulerte de Broglie at også elektronet kan tilordnes en [[bølgelengde]] {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''h''/''mv&thinsp;''}} når det har en [[bevegelsesmengde]] {{nowrap|''mv&thinsp;''}} og ''h'' er den vanlige Planck-konstanten {{nowrap|''h'' {{=}} 2''&pi;&thinsp;ħ''}}. For elektronet i en sirkelbane med radius ''r&thinsp;'' må omkretsen {{nowrap|2''&pi;&thinsp;r''}} være et helt multiplum av dets bølgelengde for at bølgen ikke skal slette seg selv ut, det vil si at

: <math> 2\pi r = n\lambda </math>

Men da elektronets dreieimpuls ''p<sub>&phi;</sub>'' = ''r&sdot;mv'', følger det med en gang at ''p<sub>&phi;</sub>'' = ''nħ''. 

Dette argumentet lot seg først generalisere noen få år senere ved betraktninger basert på [[Schrödinger-ligning]]en for [[kvantemekanikk|bølgefunksjonen]] i grensen der Plancks konstant ''ħ'' &rarr; 0. Dette gir en beskrivelse som bygger på den klassiske, men inneholder de viktigste, kvantemekaniske effektene og kalles for  [[WKB-approksimasjon]]en. I [[optikk]]en tilsvarer den å beskrive lysets gang ved [[optikk#Geometrisk optikk|geometrisk optikk]] i stedet for utbredelse av [[bølge]]r.<ref name = Griffiths> D.J. Griffiths, ''Introduction to Quantum Mechanics'', Pearson Education International, New Jersey (2005). ISBN 0-13-191175-9.</ref>