Redigerer Bølgepakke (avsnitt)

==Svevning mellom to bølger==
[[Fil:Beat.png|mini|upright|Øyeblikksbilde av to [[bølge]]r med fargene [[cyan]] und [[Magenta (farge)|magenta]] med nesten samme bølgelengde ''λ''. Sammen gir de en serie med bølgepakker med en utstrekning som er mye større en ''λ'' og som beveger seg i samme retning og med samme hastighet som de opprinnelige bølgene.]]

En bølgepakke oppstår ved [[interferens]] mellom bølger med nesten samme [[frekvens]]. Den fremkommer analogt med [[svevning]] mellom to bølger hvor en lavfrekvent bølge kan registreres med en frekvens som er lik med halvparten av differensen mellom de to opprinnelige frekvensene. Betrakter man en [[bølge#Dispersive bølger|ikke-dispersiv bølge]] med frekvens ''f'', har denne [[bølgelengde]]n ''λ = c/f&thinsp;'' hvor ''c'' er bølgehastigheten. Ekvivalent kan den beskrives ved bølgetallet {{nowrap|''k'' {{=}} 2''π''&thinsp;/''λ''&thinsp;}} og [[vinkelfrekvens]]en {{nowrap|''ω'' {{=}} 2''π&thinsp;f''}} = ''ck''. For en bølge som beveger seg langs ''x''-aksen, varierer dens utslag i tid og rom som

: <math> y(t,x) = a\cos(kx - \omega t) </math>

hvor ''a&thinsp;'' er [[amplitude]]n. Den er lik med bølgens maksimale utslag.

For to slike bølger ''y''<sub>1</sub> og  ''y''<sub>2</sub> med omtrentlig like vinkelfrekvenser ''ω''<sub>1</sub> = ''ck''<sub>1</sub> og  ''ω''<sub>2</sub> = ''ck''<sub>2</sub> som beveger seg i samme retning med samme amplituder, er det resulterende utslaget {{nowrap|''y'' {{=}} ''y''<sub>1</sub> + ''y''<sub>2</sub>}}. Ved bruk av den [[trigonometrisk identitet|trigonometriske identiteten]]

:<math> \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2} </math>

finner man for summen av de to bølgene kan skrives på formen

: <math> y(t,x) =   A(t,x) \cos(kx - \omega t) </math>

Her er  ''ω'' = (''ω''<sub>1</sub> + ''ω''<sub>2</sub>)/2 og ''k'' = (''k''<sub>1</sub> + ''k''<sub>2</sub>)/2 middelverdiene av de opprinnelige størrelsene, mens Δ''ω'' = ''ω''<sub>1</sub> - ''ω''<sub>2</sub> og {{nowrap|Δ''k'' {{=}} ''k''<sub>1</sub> - ''k''<sub>2</sub>}} er de tilsvarende differensene. Funksjonen

: <math> A(t,x) = 2a\cos \Big({\Delta k\over 2}x -  {\Delta\omega\over 2} t \Big) </math>

er amplituden til den resulterende bølgen. Den varierer [[bølge#Harmoniske bølger|harmonisk]] i tid og rom, men med en lavere frekvens enn de to opprinnelige bølgene. Denne variable amplituden er «omhyllingskurven» som her beskriver en uendelig lang kjede med bølgepakker. Hver av disse er bygget opp av et stort antall enkeltbølger med mye større frekvens. Denne kjeden med bølgepakker beveger seg med [[gruppefart|gruppehastigheten]]<ref name="French">A.P. French, ''Vibrations and Waves'' (M.I.T. Introductory physics series), Nelson Thornes, Cheltenham (1971). ISBN 0-393-09936-9.</ref>

: <math> v = {\Delta\omega\over\Delta k} = c </math>

som i dette tilfellet er det samme som bølgehastigheten. Hadde man kombinert to dispersive bølger på samme måte, ville det matematiske resultatet være det samme. Men da i dette tilfellet {{nowrap|''ω'' {{=}} ''ω''(''k'')}}, vil gruppehastigheten ''v'' ikke lenger være konstant, men varierere med bølgetallet ''k''.