Redigerer Akselerasjon (avsnitt)

== Definisjon og beskrivelse ==
=== Gjennomsnittlig akselerasjon ===
Et legemes gjennomsnittlige akselerasjon <math>\bar{a}</math> over en tidsperiode er dets forandring av fart <math> \Delta \mathbf{v}</math> dividert med varigheten av perioden <math> \Delta t</math> som uttrykkes:<ref name="YL4344">[[#YL|Young og Freedman (2008), s. 43-44]]</ref>

:<math>\bar{a} = \frac{v_2-v_1}{t_2-t_1} = \frac{\Delta v}{\Delta t} ,</math>

der <math> v_1 </math> og <math> v_2 </math> er hastigheten ved henholdsvis start og enden av perioden, og <math> t_1 </math> og <math> t_2 </math> er tiden ved henholdsvis start og enden av den samme perioden.

På samme måte er fartens gjennomsnittsverdi <math>\bar{v}</math> over en tidsperiode, forandring av posisjon (vei) <math> \Delta \mathbf{s}</math> dividert med varigheten av perioden <math> \Delta t</math> som uttrykkes:<ref>[[#YL|Young og Freedman (2008), s. 37-38]]</ref>

:<math>\bar{v} = \frac{s_2-s_1}{t_2-t_1} = \frac{\Delta s}{\Delta t} ,</math>

der <math> s_1 </math> og <math> s_2 </math> henholdsvis posisjonene ved start og enden av den samme tidsperioden.

;Eksempel på beregning for å finne endringen av hastigheten

En bil beveger seg ved tiden <math>t_1=0\,\mathrm s</math> med en hastighet på <math>v_1=10\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}</math> på veien (eller 36&nbsp;[[km/h]]). Ti sekunder senere, ved tiden <math>t_2=10\,\mathrm s</math>, er hastigheten økt til <math>v_2=30\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}</math> (eller 108&nbsp;km/t). Hva er bilens gjennomsnittlige akselerasjon? 

Den gjennomsnittlige akselerasjon av bilen i dette tidsintervallet finnes slik:

:<math>a_{gj}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1} = \frac{30-10}{10-0} = 2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}</math> 

Hastigheten har altså gjennomsnittlig endret seg 2&nbsp;m/s (eller 7,2&nbsp;km/h) over de ti sekundene.

=== Momentant akselerasjon ===
[[Fil:1-D kinematics.svg|mini|'''Illustrasjon av parametre for bevegelse''': {{bulleted list
 | tilbakelagt strekning som funksjon av tiden ''s''(''t'');
 | hastigheten for bevegelsen ''v''(''t'');
 | akselerasjon (og retardasjon) for den samme bevegelsen ''a''(''t'').
}}]]

Momentan akselerasjon er grenseverdien av gjennomsnittlig akselerasjon over et uendelig lite ([[infinitesimal]]) tidsintervall. Det vil si at om en vil finne akselerasjonen i posisjon 1 der hastigheten er <math> v_1 </math> lar en målepunktet for posisjon 2 der hastigheten er <math> v_2 </math>, og tilhørerne tidspunkter <math> t_1 </math> og <math> t_2 </math>, komme nærmere og nærmere posisjon 1. Slik blir den gjennomsnittlige akselerasjonen <math>\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} </math> en stadig mindre hastighetsendring over et stadig mindre tidsintervall. Det innebærer at <math> \Delta v </math> og <math>\Delta t</math> blir stadig mindre, men forholdet mellom dem blir nødvendigvis ikke lite. I matematikken sier en at grenseverdien av <math> \frac{\Delta v}{\Delta t} </math> når <math>\Delta t</math> går mot null er den [[Derivasjon|deriverte]] av farten med hensyn på tiden:<ref name="YL4344" />

:<math>a = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}</math>

En sier at momentan akselerasjon er den momentane hastighetsendringen over tid.<ref name="YL4344" />

På samme måte defineres momentan hastighet som grenseverdien av den gjennomsnittlige hastigheten når tidsintervallet går mot null. Altså den momentane endring av posisjon over tid:<ref>[[#YL|Young og Freedman (2008), s. 40]]</ref>

:<math>v = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{ds}{dt}</math>

[[Integral]]et av funksjonen som beskriver akselerasjonen {{math|''a''(''t'')}} er hastighetsfunksjonen {{math|''v''(''t'')}}, det vil si arealet under kurven for en funksjon som beskriver akselerasjon i forhold til tiden  ({{math|''a''}} versus {{math|''t''}}) svarer til hastigheten.

:<math>v =  \int a \  dt</math>

Akselerasjonen kan også tolkes som den annenderiverte av posisjonen {{math|''s''}} i forhold til tiden {{math|''t''}}:

:<math>a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}</math>

=== Konstant akselerasjon ===
[[File:Leaning Tower of Pisa.jpg|mini|[[Det skjeve tårn i Pisa]] hvor [[Galileo Galilei]] utførte eksperimenter med å undersøke fall for baller med ulik størrelse, men av samme materiale. Forsøket viste at falltiden og dermed akselerasjonen var uavhengig av deres [[masse]]r.]]

''Konstant akselerasjon'' er en type bevegelse der hastigheten til et legeme endres konstant innenfor ethvert likt tidsintervall. Et typisk eksempel på jevn akselerasjon er et legeme i [[fritt fall]] i et homogent [[gravitasjonsfelt]]. Akselerasjonen av et fallende legeme i fravær av motstand mot bevegelsen er avhengig bare av gravitasjonsfeltetsstyrken ''[[Tyngdeakselerasjon|g]]'', også kalt ''tyngdeakselerasjonen''.

Generelt er det enkle analytiske egenskaper som gjelder ved konstant akselerasjon, dermed er det også enkle formler som gjelder for medgått vei, start- og tidsavhengig hastigheter, samt akselerasjon ved medgått tid:<ref>{{cite book |title=Physics for you: revised national curriculum edition for GCSE |author =Keith Johnson |publisher=Nelson Thornes |year=2001 |edition=4th |page=135 |url=https://books.google.com/books?id=D4nrQDzq1jkC&pg=PA135&dq=suvat#v=onepage&q=suvat&f=false |isbn=978-0-7487-6236-1}}</ref>

:<math> s = s_0 + v_0 t+ \tfrac{1}{2} at^2 </math>
:<math> v = v_0 + a t </math>
:<math> v^2 = {v_0}^2 + 2a \cdot (s-s_0) </math>

der:<br />
:<math> t </math> er medgått tid,
:<math> s_0 </math> er posisjonen ved start,
:<math> s </math> er posisjon ved tiden <math> t </math>,
:<math> v_0 </math> er farten ved start,
:<math> v </math> er farten ved tidspunktet <math> t </math>, og
:<math> a </math> er akselerasjonen.

;Eksempel på bevegelse med konstant akselerasjon

Fra toppen av [[det skjeve tårn i Pisa]] slippes en kule, hva er dens posisjon (tilbakelagt strekning fra toppen) og hastighet etter 2 sekunder? Forutsett at den faller fritt og at begynnelseshastigheten er null. 

Likningene over benyttes, der ''a'' erstattes med tyngdeakselrasjonen ''g'' først for å finne et uttrykk for tilbakelagt strekning:

:<math> s = s_0 + v_0 t+ \tfrac{1}{2} a t^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} (-g) t^2 = (-4,9 m/s^2) t^2, </math>

og etter 2 sekunder blir tilbakelagt strekning:

:<math> s = (-4,9 \ m/s^2) 2^2 = -19,6 \ m </math>

Og et uttrykk for hastigheten blir slik:

:<math> v = v_0 + a t = 0 + (-g)t = (-9,8 \ m/s^2) t </math>

Etter 2 sekunder er hastigheten:

:<math> v = (-9,8 \ m/s^2) 2s
= 19,6 \ m/s </math>

=== Akselerasjon med endring av retning ===
[[Fil:Acceleration as derivative of velocity along trajectory.svg|mini|Akselerasjon er raten av endring av hastighet. På ethvert punkt på en bane blir størrelsen av akselerasjonen gitt av hastigheten av forandring av hastigheten i både størrelse og retning ved det tidspunktet. Den virkelige akselerasjon ved tiden ''t'' finnes som grenseverdien for [[Tid|tidsintervallet]] ''At'' → 0 av  ''Δ'''''v'''/''Δt''.]]

Når en bil starter fra stillstand (null relativ hastighet) og beveger seg i en rett linje ved økende hastighet, akselererer den i bevegelsesretningen. Hvis bilen svinger, er det en akselerasjon mot den nye retningen. I dette eksempel kalles akselerasjonen fremover av bilen en ''lineær akselerasjon''. Passasjerene i bilen kan oppleve en kraft som skyver dem tilbake i sine seter. Når bilen skifter retning i en kurve, kalles dette ''ikke-lineær akselerasjon'', noe som passasjerene kan oppleve som en sidelengs kraft. Dersom hastigheten på bilen avtar, er dette en akselerasjon i motsatt retning av bilens kjøreretning, noen ganger kalt ''retardasjon''.<ref>{{cite book |author1=Raymond A. Serway |author2=Chris Vuille |author3=Jerry S. Faughn |title=College Physics, Volume 10 |year=2008 |publisher=Cengage |isbn=9780495386933 |page=32 |url=https://books.google.com/books?id=CX0u0mIOZ44C&pg=PA32}}</ref> Passasjerer kan oppleve retardasjon som en kraft som forsøker å løfte dem fremover i kjøretøyet. Matematisk er det ingen separat formel for retardasjon: begge uttrykker endringer av hastigheten. Hver av disse typene av akselerasjon (lineære, ikke-lineære, retardasjon) kan føles av passasjerene inntil deres hastighet (hastighet og retning) stemmer overens med bilens hastighet.

Akselerasjon og hastighet behandles på grunn av dette ofte matematisk som [[Vektor (matematikk)|vektorstørrelser]], hvilket vil si at de har både en størrelse og retning, og kan adderes etter [[parallellogramloven]].<ref>{{cite book |title=Relativity and Common Sense |url=https://archive.org/details/relativitycommon0000bond |first=Hermann |last=Bondi |pages=[https://archive.org/details/relativitycommon0000bond/page/3 3] |publisher=Courier Dover Publications |year=1980 |isbn=0-486-24021-5}}</ref><ref>{{cite book |title=Physics the Easy Way |url=https://archive.org/details/physicseasyway00lehr_0 |pages=[https://archive.org/details/physicseasyway00lehr_0/page/27 27] |first=Robert L. |last=Lehrman |publisher=Barron's Educational Series |year=1998 |isbn=0-7641-0236-2}}</ref> Si at et legeme beveger seg fra posisjonen 1 til 2 og at hastigheten i løpet av tiden fra <math> t_1 </math> til <math> t_2 </math> har endret seg i både retning og størrelse. Den vektorielle endringen av hastigheten er da: <math> \Delta \vec{v} =  \vec{v_2}-\vec{v_1}</math> og den gjennomsnittlige vektorielle akselerasjonen i tidsintervallet <math> \Delta {t} = {t_2}-{t_1}</math>:<ref name="YL75">[[#YL|Young og Freedman (2008), s. 75]]</ref> 

:<math>\vec{a_{gj}} = \frac{\vec{v_1}-\vec{v_0}}{t_1-t_0} = \frac{\Delta \vec{a}}{\Delta t} ,</math>

Gjennomsnittlig akselerasjon er en vektor med samme retning som den vektorielle gjennomsnittlige hastighet. Den momentane vektorielle akselerasjon blir definert på samme måte som akselerasjon for forandring av fart, altså:<ref name="YL75" />

:<math>\vec{a} = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}= \frac{d\vec{v}}{dt},</math>

altså den deriverte av hastighetsvektoren <math>\vec{v}</math> med hensyn på tiden {{math|''t''}}. 

Det er vanlig å betrakte fart bare som en absoluttverdi, mens hastighet beskrives både som størrelse og retning, altså en størrelse som beskrives som en vektor.<ref>{{snl|Hastighet}}</ref>

Bevegelse og akselerasjon kan også være noe som skjer i tre dimensjoner, altså ikke en hendelse i planet, men i rommet, dermed er det vanlig å dekomponere akselerasjonen i x-, y- og z-komponenter. For momentan akselerasjon blir definisjonen av disse komponentene:<ref name="YL76">[[#YL|Young og Freedman (2008), s. 76]]</ref><ref>[[#LJ|Lien, Jan R, s. 4]]</ref>

:<math> a_x = {dv_x \over dt}, \ a_y = {dv_y \over dt} \ og \ a_z = {dv_z \over dt},</math>

der <math> v_x </math>, <math> v_y </math> og <math> v_z </math> er hastigheten i henholdsvis x-, y- og z-retningene.

Uttrykt med enhetsvektorer blir dette en akselerasjonsvektor slik:

:<math> \vec{a} = {dv_x \over dt} \mathbf {i} + {dv_y \over dt} \mathbf {j} + {dv_z \over dt} \mathbf {k} </math>

der '''i''', '''j''' og '''k''' er enhetsvektorene i henholdsvis x-, y- og z-retningene.

Siden hver av akselerasjonskomponentene er den dobbeltderiverte av strekningen kan dette også uttrykkes:<ref name="YL76" /><ref>[[#LJ|Lien, Jan R, s. 5]]</ref>

:<math> a_x = {d^2 s_x \over dt},\  a_y = {d^2 s_y \over dt}\  og \  a_z = {d^2 s_z \over dt},</math>

der <math> s_x </math>, <math> s_y </math> og <math> s_z </math> er hastigheten i henholdsvis x-, y- og z-retningene. Og akselerasjonsvektoren blir etter dette:

:<math> \vec{a} = {d^2 s_x \over dt} \mathbf {i} + {d^2 s_y \over dt} \mathbf {j} + {d^2 s_z \over dt} \mathbf {k}, </math>