Redigerer Euler-ligningene

{{Kildeløs|Helt uten kilder.|dato=10. okt. 2015}}
'''Eulerligningene''' styrer bevegelsen til en [[Kompressibilitet|kompressibel]] og [[ikke-viskøs væske]] i [[væskedynamikk]]en. Ligningene er en enklere form av [[Navier-Stokes-ligningene]] med null [[viskositet]] og [[varmekonduksjon]], men blir vanligvis skrevet slik som her, fordi de direkte representerer bevaring av [[masse]], [[bevegelsesmengde]] og [[energi]]. Ligningene har fått navn etter [[Leonhard Euler]]. I denne artikkelen tenker vi oss at den klassiske mekanikken gjelder, se [[relativistiske Eulerligninger]] for en diskusjon av kompressible væsker når farten nærmer seg lysfarten.

På differensial form er ligningene: 

:<math>
{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0
</math>
:<math>
{\partial\rho{\mathbf u}\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho \mathbf u)\mathbf u+\nabla p=0
</math>
:<math>
{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u(E+p))=0</math>

der <math>E=\rho e+\rho(u^2+v^2+w^2)/2</math> er den totale energien per volum (<math>e</math> er den indre energien per masse for væsken), <math>p</math> er trykket, <math>u</math> er væskens fart og <math>\rho</math> tettheten. Den andre ligningen inkluderer [[divergens]] av en binær [[tensor]], og er kanskje klarere i indeksnotasjon:

:<math>
{\partial\rho u_j\over\partial t}+
{\partial\rho u_i u_j\over\partial x_i}+
{\partial p\over\partial x_j}
=0</math>

Merk at ligningene over er uttrykt på [[bevaringsform]], siden denne formen legger vekt på det fysiske opphavet deres (og er den enkleste formen for datasimuleringer av væskedynamikk). Bevegelsesmengdekomponenten i Eulerligningene blir vanligvis uttrykt som:

:<math>
\rho\left(
\frac{\partial}{\partial t}+{\mathbf u}\cdot\nabla
\right){\mathbf u}+\nabla p=0
</math>

men denne formen skjuler den direkte sammenhengen mellom Eulerligningene og [[Newtons bevegelseslover|Newtons andre bevegelsesligning]] (særlig er det ikke intuitivt hvorfor denne ligningen er korrekt og <math>\left(\partial/{\partial t}+{\mathbf u}\cdot\nabla\right)(\rho{\mathbf u})+\nabla p=0</math> ikke er korrekt).

I bevaringsvektorform blir Eulerligningene

:<math> 
\frac{\partial U}{\partial t}+
\frac{\partial F}{\partial x}+
\frac{\partial G}{\partial y}+
\frac{\partial H}{\partial z}=0
</math>
der

:<math>
U=\begin{pmatrix}\rho  \\  \rho u  \\  \rho v  \\ \rho w  \\E\end{pmatrix}\qquad
F=\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^2\\  \rho uv \\ \rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}\qquad
G=\begin{pmatrix}\rho v\\  \rho uv \\p+\rho v^2\\ \rho vw \\v(E+p)\end{pmatrix}\qquad
H=\begin{pmatrix}\rho w\\  \rho uw \\  \rho vw \\p+\rho w^2\\w(E+p)\end{pmatrix}.\qquad
</math>

Denne formen viser at <math>F,G,H</math> er [[fluks]]er.

Ligningen over representerer altså bevaring av masse, tre komponenter av bevegelsesmengde, og energi. Det er derimot fem ligninger og seks ukjente. For å få en lukket problemstilling må man bruke [[tilstandsligning]]en, og den mest vanlige formen av denne er den [[Ideell gass|ideelle gassloven]] (f.eks. <math>p=\rho(\gamma-1)e</math>, der ρ er tettheten, γ er en adiabatisk indeks, og e den indre energien).

Det ekstra leddet som har med ''p'' kan tolkes som det mekaniske arbeidet som et væskeelement gjør på væskeelementene rundt. Disse leddene blir summert opp til null i en inkompressibel væske. 

Den mer kjente [[Bernoulliligningen]] kan utledes ved å integrere Eulerligningene langs en strømlinje, hvis man setter tettheten til å være konstant.
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Partielle differensialligninger]]
[[Kategori:Fluiddynamikk]]