Redigerer Sinussetning

{{trigonometri}}

'''Sinussetningen''' (også kalt '''sinusproporsjonen''') er i [[trigonometri]]en (se også [[trigonometriske funksjoner]]) en læresetning om en hvilken som helst [[trekant]] i planet. Når ''a'', ''b'', og ''c'' er sidene i trekanten, og disse sidenes motstående vinkler er ''A'', ''B'' og ''C'', sier sinussetningen at

:<math> \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. </math>

Den felles verdien av disse tre brøkene er diameteren til trekantens [[omskrevet (geometri)|omskrevne]] sirkel. Sinussetningen kan også fremstilles som

: <math> \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}. </math>

Denne setningen er nyttig når man skal beregne resten av sidene i en trekant der to vinkler og en side er kjent, et kjent problem i [[triangulering]]. Den kan også brukes når to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, er kjent; i noen tilfeller gir formelen to mulige verdier for den mellomliggende vinkelen. Når det skjer, vil ofte bare ett resultat få vinkelsummen til å bli 180°; i andre tilfeller har trekanten to løsninger.

Det kan vises at diameteren til trekantens omskrevne sirkel er
:<math>\begin{align}
\frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}</math>

der ''S'' er trekantens areal og ''s'' dens halve omkrets

:<math>s = \frac{a+b+c} {2}.</math>

== Eksempler ==

Gitt en trekant med side ''a''&nbsp;=&nbsp;20, side ''c''&nbsp;=&nbsp;24, og vinkel ''C''&nbsp;=&nbsp;40&deg;

Ved å bruke sinussetningen kommer vi frem til at

:<math>\frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.</math>

:<math> A = \arcsin\left( \frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \cong 32,39^\circ. </math>

Et annet eksempel på å løse et problem ved hjelp av sinussetningen: 

Hvis de to sidene i en trekant er lik ''R'' og lengden av den tredje siden, [[korde]]n, er gitt som 100 meter, og vinkel ''C'' motstående korden er gitt i grader, er

: <math>\angle A = \angle B = \frac{180-C}{2}</math>

og

:<math>{R \over \sin A}={\mbox{korde} \over \sin C}\text{ eller }{R \over \sin B}={\mbox{korde} \over \sin C}\,</math>

<!-- ekstra, tom linje for å øke lesbarheten -->

:<math>{\mbox{korde} \,\sin A \over \sin C} = R\text{ eller }{\mbox{korde} \,\sin B \over \sin C} = R.</math>

== Utledning ==

<div style="float:right;margin:0 0 1em 1em;">[[Image:Law of sines proof.svg]]</div>
Lag en trekant med sider ''a'', ''b'' og ''c'', og vinkler ''A'', ''B'' og ''C''. Tegn høyden fra vinkel ''C'' til side ''c''; per definisjon vil den dele den opprinnelige trekanten i to rettvinklede trekanter. Kall høyden ''h''.

Vi ser at
:<math>\sin A = \frac{h}{b}\text{ and } \sin B = \frac{h}{a}.</math>

Derfor er
:<math>h = b\,(\sin A) = a\,(\sin B)</math>

og
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}.</math>

Ved å gjøre det samme med høyden fra ''A'' får vi
:<math>\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.</math>

== Se også ==

*[[Sinus]]
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Trigonometri]]